Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Осталось обсудить наиболее трудное место, связанное с выводом выражения для механической силы (С). То, что в (С) наряду с членом, описывающим силу, действующую на токи, входит одновременно ещё и член, соответствующий силе, действующей на фиктивные магнитные заряды, с помощью которых можно заменить (с известными оговорками) действие замкнутых токов, не должно приводить к недоразумениям: нужные пояснения сделаны в соответствующих параграфах «Трактата», относящихся к магнитостатике. Но обобщение равноправности такого подхода на произвольно текущие во времени процессы требует всё же некоторых дополнений.

Постольку поскольку магнитные заряды рассматриваются как вспомогательные величины, вводимые ради методических удобств, то не имеет смысла говорить и о плотности механической силы, действующей на них со стороны поля, как о величине физически измеряемой, однако можно утверждать, что суммарная (интегральная) сила на всю систему токов проводимости будет совпадать с силой на эквивалентные им магнитные листы. Причём если в силе, действующей на токи, фигурирует вектор магнитной индукции, то в силе на магнитные заряды «занят» вектор напряжённости магнитного поля 𝐇. По существу, это равносильно тому, что, так сказать, «будущий» принцип двойственности, т.е. принцип инвариантности уравнений поля относительно дуальной замены 𝐄→𝐇, 𝐇→-𝐄, ρ^𝑒→ρ^𝑚, 𝐣^𝑒→𝐣^𝑚, ρ^𝑚→-ρ^𝑒, 𝐣^𝑚→-𝐣^𝑒, - справедлив также и в своём силовом проявлении. Останется ли такая дуальность справедливой при воздействии на «реальные» магнитные монополи, если таковые всё-таки будут найдены в природе, по-видимому, нельзя разрешить внутри собственно максвелловской электродинамики, а в прогностических теориях неоспариваемой ясности нет вплоть до настоящего времени [14].

Однако дуальность заведомо должно быть соблюдена при чисто абстрактном использовании магнитных зарядов, основанном на переопределении токовых источников поля по правилам (β): ρ^𝑚=-div 𝐌, где 𝐌 - вектор намагничения, отыскиваемый как одно из возможных решений интегрального уравнения вида

𝐦

=

1

2𝑐

∫

𝑉

𝐣

^𝑒

_пр

×

𝐫𝑑𝑉

=

∫

𝑉

𝐌

𝑑𝑉

,

что отвечает двум рецептам введения магнитного момента: для системы токов и для системы зарядов.

Таким образом, в выражении (С) нет излишеств, но приведено одновременно два выражения для силы, действующей на токи или на магнитные заряды в зависимости от предпочитаемого описания фактических источников магнитного поля. Однако, строго говоря, при зарядовом описании в уравнение (С) должен быть введён ещё один член, связанный с появлением магнитных токов. Действительно, по смыслу введения магнитных зарядов в уравнения поля как источников этого поля (фиктивных или реальных) они должны удовлетворять закону сохранения, и, значит, любое изменение во времени плотности ρ^𝑚 сопровождается подтеканием или оттеканием магнитного тока (фиктивного или реального) с плотностью 𝐣^𝑚:

div

𝐣

^𝑚

=-

∂ρ^𝑚

∂𝑡

.

(10)

Уравнение непрерывности (10) двойственно (𝐣^𝑒→𝐣^𝑚, ρ^𝑒→ρ^𝑚) уравнению непрерывности (7). И потому последовательный учёт принципа двойственности в задаче о механическом действии электромагнитного поля на источники (строго говоря, конечно, на «носители источников») должен в общем случае дополнить (С) членом

1

𝑐

𝐣

^𝑚

×

𝐃

.

И, наконец, последнее замечание, также относящееся к выражению (С). В той части силы, которая определяет воздействие поля на токи (строго говоря, конечно, на носители токов), Максвелл оперирует не с током проводимости, а с истинным током, дополнительно содержащим ещё и ток смещения. Это отличает соотношение (С) от используемого нами теперь. Разница обусловлена несколько иным определением понятия силы (во-первых) и отсутствием ещё одного члена, двойственного члену с электрическим током смещения (во-вторых). Поскольку вопрос представляет не только исторический интерес, остановимся на нём подробнее. Без ущемления сути дела в целях сокращения формул положим сразу ε=1, μ=1, т.е. будем рассматривать силы, действующие на заряды и токи в вакууме.

Закон сохранения импульса в этом случае принимает вид

div 𝑇⃡

-

∂𝐠

∂𝑡

=

𝐟

_мех

,

(11)

где

𝐟

_мех

=

ρ

^𝑒

𝐄

+

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_пр

×

𝐇

,

𝐠

=

1

4π𝑐

𝐄

×

𝐇

,

𝑇⃡

→

𝑇

_αβ

=

1

4π

(𝐸

_α

𝐸

_β

+𝐻

_α

𝐻

_β

)

-

1

8π

δ

_αβ

(𝐸²+𝐻²)

.

Здесь 𝐠 - плотность электромагнитного импульса, 𝑇_αβ - тензор напряжения, дающий поток импульса (втекающий, а не вытекающий, внутрь объёма, где находятся источники - отсюда и различие в знаках по сравнению с обычной записью законов сохранения). Соотношение (11) может быть переписано в несколько ином виде, если ввести понятие «обобщённой» силы, включающей в себя наряду с обычной механической (по нашей терминологии - лоренцовой) силой ещё и изменение электромагнитного импульса

div 𝑇⃡

=

𝐟

_∑

=

𝐟

_мех

+

∂𝐠

∂𝑡

=

=

ρ

^𝑒

𝐄

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_пр

×

𝐇

+

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_см

×

𝐇

+

1

4π𝑐

𝐄

×

∂𝐇

∂𝑡

.

(12)

Сравнивая выражение для 𝐟_∑ в (12) с максвелловской формулой (С) (где для однозначности подхода нужно сразу же положить ρ^𝑚), нетрудно обнаружить, что они отличаются только наличием дополнительного члена в (12)

1

4π𝑐

𝐄

×

∂𝐇

∂𝑡

=-

1

𝑐

𝐣

^𝑚

_см

×

𝐄

,

(13)

которому может быть придан вид, сходный с лоренцовым, если ввести условно «магнитный ток смещения»:

𝐣

^𝑚

_см

=

1

4π

∂𝐇

∂𝑡

.