Читаем Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2. полностью

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Для случая, когда проводимость среды равна μ₁, а проводимость сфер μ₂, мы получили, что проводимость составной среды равна

₁

2μ₁+μ₂+2𝑘(μ₂-μ₁)

2μ₁+μ₂-𝑘(μ₂-μ₁)

При μ₁=1 и μ₂=∞ это даёт

1+2𝑘

1-𝑘

Эта величина μ определяет электрическую проводимость среды, состоящей из идеально проводящих сфер, распределённых в среде с единичной проводимостью, причём суммарный - агрегатный - объём всех сфер в единице объёма равен 𝑘.

Величина μ также представляет собой коэффициент магнитной индукции среды, состоящей из сфер с бесконечной проницаемостью, рассеянных в среде с проницаемостью, равной единице.

Величина 𝑘, которую мы будем называть Магнитным Коэффициентом Пуассона, представляет собой отношение объёма магнитных элементов к полному объёму вещества.

Величина ϰ известна как Коэффициент Индуцированной Намагниченности Неймана. Она более удобна, чем коэффициент Пуассона.

Величину μ мы будем называть Коэффициентом Магнитной Индукции. Её преимущество состоит в том, что она облегчает преобразование магнитных задач в соответствующие электрические и тепловые.

Соотношения между этими величинами таковы:

𝑘

4πϰ

4πϰ+3

𝑘

μ-1

μ+2

μ-1

4π

3𝑘

4π(1-𝑘)

1+2𝑘

1-𝑘

4πϰ

Если положить ϰ=32 (именно такое значение дают эксперименты Талена ³ с мягким железом), то получим 𝑘=135/136 Но по теории Пуассона эта величина должна быть равна отношению объёма, занимаемого магнитными молекулами, к полному объёму железа. Однако ведь невозможно заполнить какое-либо пространство одинаковыми сферами так плотно, чтобы отношение их объёма к объёму этого пространства было бы столь близко к единице. И совершенно невероятно, чтобы такая большая доля объёма железа была занята твёрдыми молекулами, какую бы форму они ни имели. В этом состоит одна из причин, по которой мы должны отказаться от гипотезы Пуассона. Другие будут приведены в главе VI. Но, конечно, при этом полностью сохраняется значение математических исследований Пуассона, ибо они основаны не на его гипотезе, а на экспериментальном факте наличия индуцированной намагниченности.

³Recherches sur les propriétés magnétiques du jer, Nova Acla, Upsal, 1863.

ГЛАВА V

ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Полая сферическая оболочка

431. Первый пример полного решения задачи о магнитной индукции был дан Пуассоном для случая полой сферической оболочки, находящейся под воздействием произвольных магнитных сил.

Для простоты будем считать, что источник магнитной силы расположен во внешнем по отношению к оболочке пространстве.

Если обозначить через 𝑉 потенциал, создаваемый внешней магнитной системой, то его можно будет разложить в ряд по пространственным гармоникам следующего вида:

𝑉

𝐶

₀

𝑆

₀

𝐶

₁

𝑆

₁

𝑟

+и т.д. +

𝐶

_𝑖

𝑆

_𝑖

𝑟

^𝑖

(1)

где 𝑟 - расстояние от центра оболочки, 𝑆_𝑖 - поверхностная гармоника 𝑖-гo порядка, 𝐶_𝑖 - коэффициент.

Этот ряд будет сходящимся при условии, что 𝑟 меньше расстояния до ближайшего из магнитов, создающих данный потенциал. Следовательно, для полой сферической оболочки он сходится и на самой оболочке, и в области внутри неё.

Обозначим через 𝑎₂ внешний радиус оболочки, через 𝑎₁ - внутренний радиус и через Ω - потенциал, создаваемый индуцированной в ней намагниченностью. Во внутреннем пространстве, внутри вещества оболочки, и во внешнем пространстве вид функции Ω, вообще говоря, различен. Разложив эти функции в ряды по гармоникам и сосредоточив своё внимание на членах, содержащих поверхностную гармонику 𝑆_𝑖, мы увидим, что потенциал Ω₁, относящийся к полости внутри оболочки, следует разлагать по положительным гармоникам вида 𝐴₁𝑆_𝑖𝑟^𝑖, поскольку внутри сферы радиуса 𝑎₁ он не должен обращаться в бесконечность.

В веществе оболочки, где значения 𝑟 лежат между 𝑎₁ и 𝑎₂, ряд может содержать как положительные, так и отрицательные степени 𝑟 вида 𝐴₂𝑆_𝑖𝑟^𝑖+𝐵₂𝑆_𝑖𝑟^-(𝑖+1).

Вне оболочки, где 𝑟 больше 𝑎₂, разложение должно сходиться при сколь угодно больших 𝑟, и поэтому мы должны брать только отрицательные степени 𝑟 вида 𝐵₃𝑆_𝑖𝑟^-(𝑖+1)

Функция ω должна удовлетворять следующим условиям: (1°) быть конечной, (2°) быть непрерывной, (3°) обращаться в нуль на бесконечном расстоянии и (4°) везде удовлетворять уравнению Лапласа.

Из условия (1°) следует

𝐵

₁

Из условия (2°) при 𝑟=𝑎₁

(

𝐴

₁

𝐴

₂

)

𝑎

2𝑖+1