Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Предположим также, что внешняя намагничивающая сила также однородна и параллельна какому-нибудь направлению и имеет составляющие 𝑋, 𝑌, 𝑍.

Тогда значение 𝑉 будет равно

𝑉

=

-(

𝑋𝑥

+

𝑌𝑦

+

𝑍𝑧

),

(2)

а для значения потенциала Ω' вне сферы намагниченности, согласно п. 391, получим

Ω

'

=

4π

3

𝑎³

𝑟³

(

𝐴𝑥

+

𝐵𝑦

+

𝐶𝑧

).

(3)

Значение потенциала Ω внутри сферы намагниченности равно

Ω

=

4π

3

(

𝐴𝑥

+

𝐵𝑦

+

𝐶𝑧

).

(4)

Истинный потенциал внутри сферы равен 𝑉+Ω, т.е. для составляющих магнитной силы внутри сферы имеем

α

=

𝑋

-

4

3

π𝐴

,

β

=

𝑌

-

4

3

π𝐵

,

γ

=

𝑍

-

4

3

π𝐶

.

(5)

Следовательно,

⎛

⎜

⎝

1+

4

3

π𝑟

₁

⎞

⎟

⎠

𝐴+

4

3

π𝑝

₃

𝐵+

4

3

π𝑞

₂

𝐶

=

𝑟

₁

𝑋

+

𝑝

₃

𝑌

+

𝑞

₂

𝑍

,

4

3

π𝑞

₃

𝐴+

⎛

⎜

⎝

1+

4

3

π𝑟

₂

⎞

⎟

⎠

𝐵+

4

3

π𝑝

₁

𝐶

=

𝑞

₃

𝑋

+

𝑟

₂

𝑌

+

𝑝

₁

𝑍

,

4

3

π𝑝

₂

𝐴+

4

3

π𝑞

₁

𝐵+

⎛

⎜

⎝

1+

4

3

π𝑟

₃

⎞

⎟

⎠

𝐶

=

𝑝

₂

𝑋

+

𝑞

₁

𝑌

+

𝑟

₃

𝑍

.

(6)

Решая эти уравнения, находим

𝐴

=

𝑟

₁

'𝑋

+

𝑝

₃

'𝑌

+

𝑞

₂

'𝑍

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝐵

=

𝑞

₃

'𝑋

+

𝑟

₂

'𝑌

+

𝑝

₁

'𝑍

,

𝐶

=

𝑝

₂

'𝑋

+

𝑞

₁

'𝑌

+

𝑟

₃

'𝑍

,

(7)

где

𝐷'𝑟

₁

'

=

𝑟

₁

+

4

3

π(

𝑟

₃

𝑟

₁

-

𝑝

₂

𝑞

₂

+

𝑟

₁

𝑟

₂

-

𝑝

₃

𝑞

₃

)+

⎛

⎜

⎝

4

3

π

⎞²

⎟

⎠

𝐷

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

𝐷'𝑝

₁

'

=

𝑝

₁

-

4

3

π(

𝑞

₂

𝑞

₃

+

𝑝

₁

𝑟

₁

),

𝐷'𝑞

₁

'

=

𝑞

₁

-

4

3

π(

𝑝

₂

𝑝

₃

+

𝑞

₁

𝑟

₁

)

и т.д.

(8)

Здесь 𝐷 - определитель из коэффициентов в правой части уравнения (6), а 𝐷' - определитель из коэффициентов в левой части.

Новая система коэффициентов 𝑝', 𝑞', 𝑟' будет симметричной только для симметричной системы 𝑝, 𝑞, 𝑟, т.е. когда коэффициенты типа 𝑝 равны соответствующим коэффициентам типа 𝑞.

436. Момент пары сил, стремящийся повернуть сферу вокруг оси 𝑥 в направлении от 𝑦 к 𝑧 , находится путём вычисления моментов, действующих на элементарные объёмы, и их суммирования по всей сфере. Результат следующий:

𝐿

=

4

3

π𝑎³

(γ𝐵-β𝐶)

=

=

4

3

π𝑎³

{

𝑝

₁

'𝑍²

-

𝑞

₁

'𝑌²

+

(𝑟

₂

'-𝑟

₃

')𝑌𝑍

+

𝑋(𝑞

₃

'𝑍-𝑝

₂

'𝑌)

}.

(9)

Если положить 𝑋=0, 𝑌=𝐹 cos θ, 𝑍=𝐹 sin θ, то это будет соответствовать магнитной силе 𝐹 лежащей в плоскости 𝑦𝑧 и наклонённой под углом θ к оси 𝑦. Будем теперь поворачивать сферу, сохраняя силу постоянной, тогда работа, совершаемая при вращении сферы на каждый полный оборот, окажется равной

2π

∫

0

𝐿

𝑑θ

.

Но эта работа равна

4

3

π²

𝑎³

𝐹²

(𝑝

₁

'-𝑞

₁

')

.

(10)

Следовательно, чтобы вращающаяся сфера не могла стать неисчерпаемым источником энергии, необходимо выполнение равенства 𝑝₁'-𝑞₁' и, аналогично, 𝑝₂'-𝑞₂', 𝑝₃'-𝑞₃'.

Эти условия показывают, что в первоначальных уравнениях (6) коэффициент при 𝐵 в третьем уравнении равен коэффициенту при 𝐶 во втором и т.д. Система уравнений, таким образом, оказывается симметричной и после приведения к главным осям намагниченности становится такой:

𝐴

=

𝑟

₁

𝑋

,

1

+

4

π𝑟

₁

3

𝐵

=

𝑟

₂

𝑌

,

1

+

4

π𝑟

₂

3

𝐶

=

𝑟

₃

𝑍

,

1

+

4

π𝑟

₃

3

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

(11)

Момент пары сил, стремящийся повернуть сферу вокруг оси 𝑥, равен

𝐿

=

4

π𝑎³

𝑟

₂

-𝑟

₃

𝑌𝑍

.

3

⎛

⎜

⎝

1+

4

π𝑟

₂

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

1+

4

π𝑟

₃

⎞

⎟

⎠

3

3

(12)

В большинстве случаев различия между коэффициентами намагниченности в различных направлениях очень малы и, считая 𝑟 средним значением для этих коэффициентов, можно положить

𝐿

=

2

π𝑎³

𝑟

₂

-𝑟

₃

𝐹²

sin 2θ

.

3

⎛

⎜

⎝

1+

4

π𝑟

⎞²

⎟

⎠

3

(13)

Эта сила стремится развернуть кристаллическую сферу вокруг оси 𝑥 в направлении от 𝑦 к 𝑧. Она всегда старается направить ось, соответствующую наибольшему магнитному (или наименьшему диамагнитному) коэффициенту параллельно линии магнитной силы.

Соответствующий двумерный случай представлен на рис. XVI.

Если предположить, что верхняя сторона рис. XVI смотрит на север, то там будут представлены силовые линии и эквипотенциальные поверхности, возмущённые поперечно намагниченным цилиндром, северная сторона которого направлена на восток. Результирующая сила стремится повернуть цилиндр с востока на север. Большая пунктирная окружность представляет сечение цилиндра из кристаллического вещества, у которого коэффициент индукции вдоль оси, направленной с северо-востока на юго-запад, больше, чем вдоль оси, направленной с северо-запада на юго-восток. Пунктирные линии внутри окружности изображают линии индукции и эквипотенциальные поверхности, которые теперь уже пересекаются не под прямым углом друг к другу. Действующая на цилиндр результирующая сила, очевидно, стремится повернуть его с востока на север.

437. Задача об эллипсоиде, помещённом в поле однородной и параллельной магнитной силы, очень изобретательно была решена Пуассоном.

Если потенциал в точке (𝑥,𝑦,𝑧), обусловленный гравитацией тела произвольной формы с однородной плотностью ρ, равен 𝑉, то потенциал магнетизма, создаваемый тем же телом при однородной намагниченности в направлении оси 𝑥 с интенсивностью 𝐼=ρ, равен -(𝑑𝑉/𝑑𝑥).

Действительно, значение -(𝑑𝑉/𝑑𝑥)δ𝑥 в произвольной точке есть превышение потенциала тела 𝑉 над потенциалом 𝑉' того же тела, смещённого на расстояние -δ𝑥 в направлении 𝑥.

Предположим, что тело смещено на расстояние -δ𝑥, а его плотность вместо ρ стала -ρ (как будто тело сделано из отталкивающей материи вместо притягивающей), тогда величина -(𝑑𝑉/𝑑𝑥)δ𝑥 будет потенциалом, создаваемым этими двумя телами.

Рассмотрим теперь элементарную порцию тела с объёмом δ𝑣 и массой ρ𝑑𝑣, а также соответствующий объём смещённого на расстояние -δ𝑥 тела с массой -ρδ𝑣. Действие этих двух элементов эквивалентно действию магнита с мощностью ρδ𝑣 и длиной δ𝑥. Интенсивность намагниченности находится делением магнитного момента элемента на его объём. Результат равен δ𝑥.