Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Поэтому на любой участок контура действует сила, заставляющая его двигаться поперёк линий магнитной индукции так, чтобы вобрать в обхват контура как можно большее количество этих линий; работа, совершенная силой за время этого смещения, численно равна количеству добавленных линий индукции, умноженному на силу тока.

Пусть элемент 𝑑𝑠 контура, по которому протекает ток силы 𝑖, перемещён параллельно самому себе на расстояние δ𝑥, при этом движении он заметёт площадь в виде параллелограмма, стороны которого параллельны и равны соответственно 𝑑𝑠, δ𝑥.

Если обозначить магнитную индукцию через 𝔅 и считать, что её направление составляет угол ε с нормалью к параллелограмму, то величина прироста 𝑁, соответствующего смещению, находится путём умножения площади параллелограмма на 𝔅cos ε Результат этой операции представляется геометрически объёмом параллелепипеда, ребра которого по величине и направлению соответствуют δ𝑥, 𝑑𝑠 и 𝔅.

Объём должен считаться положительным, если какая-нибудь стрелка, направляемая последовательно в этих трёх направлениях, будет перемещаться вокруг диагонали параллелепипеда в направлении движения стрелок часов. Объём этого параллелепипеда равен 𝑋δ𝑥.

Если θ есть угол между 𝑑𝑠 и 𝔅, то площадь параллелограмма со сторонами 𝑑𝑠 и 𝔅 равна 𝑑𝑠⋅𝔅 sin θ. Пусть есть угол, образуемый смещением δ𝑥 с нормалью к этому параллелограмму, тогда объём параллелепипеда равен

𝑑𝑠

⋅

𝔅 sin θ

⋅

δ𝑥

cos η

=

δ𝑁

.

Теперь

𝑋δ𝑥

=

𝑖δ𝑁

=

𝑖

𝑑𝑠

⋅

𝔅 sin θ

δ𝑥

cos η

и

𝑋

=

𝑖

𝑑𝑠

⋅

𝔅 sin θ

cos η

.

Это есть действующая на 𝑑𝑠 сила, спроектированная на направление δ𝑥.

Таким образом, направление этой силы перпендикулярно к параллелограмму, а её величина равна 𝑖⋅𝑑𝑠⋅𝔅 sin θ.

Это есть площадь параллелограмма, стороны которого и по величине, и по направлению соответствуют 𝑖𝑑𝑠 и 𝔅. Следовательно, действующая на 𝑑𝑠 сила по своей величине представлена площадью этого параллелограмма, а по своему направлению - нормалью к его плоскости, проведённой в направлении поступательного движения винта с правой нарезкой, рукоятка которого поворачивается от направления тока 𝑖𝑑𝑠 к направлению магнитной индукции 𝔅.

Мы можем выразить и направление, и величину этой силы на языке кватернионов, сказав, что это есть векторная часть результата умножения вектора элемента тока 𝑖𝑑𝑠 на вектор магнитной индукции 𝔅 [рис. 22].

Рис. 22

491. Таким образом, мы полностью определили силу, действующую на любой участок электрического контура, помещённого в магнитное поле. Если контур двигается произвольным способом, но так, что, перебрав различные формы и положения, он возвращается в исходное место, а сила тока за время движения сохраняется постоянной, то общее количество работы, совершаемой электромагнитными силами, будет равно нулю. Так как это справедливо для любого цикла движения контура, то отсюда следует, что при помощи электромагнитных сил невозможно, преодолевая сопротивление трения и т. п., поддерживать непрерывное вращательное движение какой-либо части линейного контура с постоянной силой тока.

Непрерывное вращение, однако, может быть получено при условии, что электрический ток где-то на своём пути переходит от одного проводника к другому, скользящему или ползущему по первому проводнику.

Когда в контуре имеется скользящий контакт между проводником и гладкой поверхностью твёрдого или жидкого тела, то такую систему уже нельзя рассматривать как одиночный линейный контур с постоянной силой тока, её следует считать системой, состоящей из двух или большего числа контуров с изменяющейся силой тока, распределённого по контурам таким образом, что в тех контурах, для которых 𝑁 растёт, токи текут в положительном направлении, а в тех, где 𝑁 уменьшается, - в отрицательном.

Рис. 23

Так, в устройстве, представленном на рис. 23, 𝑂𝑃 является подвижным проводником, один конец которого покоится в чаше со ртутью 𝑂, а другой погружён в концентричный относительно 𝑂 кольцевой жёлоб со ртутью.

Ток 𝑖 входит по 𝐴𝐵 и разделяется в кольцевом жёлобе на две части, одна из которых, 𝑥, течёт по дуге 𝐵𝑄𝑃, а другая 𝑦 - по дуге 𝐵𝑅𝑃. Эти токи, соединяясь в 𝑃, текут вдоль подвижного проводника 𝑃𝑂 и электрода 𝑂𝑍 к цинковому полюсу батареи. Сила тока в 𝑂𝑃 и 𝑂𝑃 равна 𝑥+𝑦 или 𝑖. Здесь мы имеем два контура: контур 𝐴𝐵𝑄𝑃𝑂𝑍, в котором сила тока равна 𝑥 и ток течёт в положительном направлении, а также контур 𝐴𝐵𝑅𝑃𝑂𝑍, в котором сила тока равна 𝑦 и ток течёт в отрицательном направлении.

Пусть 𝔅 есть магнитная индукция, направленная вверх - по нормали к плоскости круга.

За время, пока 𝑂𝑃 переместится на угол θ в направлении, обратном движению часовой стрелки, площадь первого контура возрастёт на 𝑂𝑃²⋅θ/2, а площадь второго контура на ту же самую величину уменьшится. Так как сила тока в первом контуре равна 𝑥, то работа, совершенная им, равна 𝑥⋅𝑂𝑃²⋅θ⋅𝔅/2; и так как сила тока во втором контуре равна 𝑦, работа, совершенная им, равна 𝑦⋅𝑂𝑃²⋅θ⋅𝔅/2. Поэтому полная работа будет такой:

1

2

(𝑥+𝑦)

𝑂𝑃²

⋅

θ𝔅

, или

1

2

𝑖

⋅

𝑂𝑃²

⋅

θ𝔅

.