Читаем Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2. полностью

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Относительное положение двух элементов полностью определяется расстоянием 𝑟 между ними и тремя углами θ, θ' и η, поскольку, если эти величины заданы, то относительное положение элементов определено так же полно, как если бы они являлись частью твёрдого тела.

512. Если мы, используя прямоугольные координаты, сделаем 𝑥, 𝑦, 𝑧 координатами точки 𝑃, 𝑥', 𝑦', 𝑧' - координатами точки 𝑃', а через 𝑙, 𝑚, 𝑛 и 𝑙', 𝑚', 𝑛' обозначим соответственно направляющие косинусы 𝑃𝑄 и 𝑃'𝑄', то

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑙,

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑚,

𝑑𝑧

𝑑𝑠

𝑛,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

𝑙',

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

𝑚',

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

𝑛'

(2)

𝑙(𝑥'-𝑥)

𝑚(𝑦'-𝑦)

𝑛(𝑧'-𝑧)

𝑟 cos θ,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑙'(𝑥'-𝑥)

𝑚'(𝑦'-𝑦)

𝑛'(𝑧'-𝑧)

𝑟 cos θ',

𝑙𝑙'

𝑚𝑚'

𝑛𝑛'

cos ε,

(3)

где ε - угол между направлениями самих элементов, а

cos ε

cos θ

cos θ'

sin θ

sin θ'

cos η

(4)

Далее,

𝑟²

(𝑥'-𝑥)²

(𝑦'-𝑦)²

(𝑧'-𝑧)²

(5)

отсюда

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

(𝑥'-𝑥)²

𝑑𝑥

𝑑𝑠

(𝑦'-𝑦)²

𝑑𝑦

𝑑𝑠

(𝑧'-𝑧)²

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

-𝑟

cos θ

Аналогично

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

(𝑥'-𝑥)²

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

(𝑦'-𝑦)²

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

(𝑧'-𝑧)²

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

-𝑟

cos θ'

(6)

и, дифференцируя 𝑟(𝑑𝑟/𝑑𝑠) по 𝑠',

𝑟

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

𝑑𝑧

𝑑𝑠

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑙𝑙'

𝑚𝑚'

𝑛𝑛'

- cos ε

(7)

Мы можем поэтому выразить три угла θ, θ' и η и вспомогательный угол ε через производные от 𝑟 по 𝑠 и 𝑠' следующим образом:

cos θ

𝑑𝑟

𝑑𝑠

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

cos θ'

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

cos ε

-𝑟

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

sin θ sin θ' cos η

-𝑟

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

(8)

513. Рассмотрим далее, как факт воздействия друг на друга элементов 𝑃𝑄 и 𝑃'𝑄' может быть представлен математически; причём сначала мы не будем предполагать, что взаимодействие с необходимостью происходит вдоль линии, соединяющей эти элементы.

Мы видели, что каждый элемент можно считать разложенным на другие элементы при условии, что эти составляющие, если их скомбинировать по правилу сложения векторов, дадут в качестве своей результирующей исходный элемент.

Рис. 30

Мы будем поэтому рассматривать элемент 𝑑𝑠 разложенным на cos θ𝑑𝑠=α в направлении 𝑟 и на sin θ𝑑𝑠=β - в направлении, перпендикулярном к 𝑟 в плоскости 𝑃'𝑃𝑄 [рис. 30].

Будем также рассматривать элемент 𝑑𝑠' разложенным на cos θ'𝑑𝑠'=α' в направлении, обратном 𝑟, на sin θ' cos η 𝑑𝑠'=β' - в направлении, параллельном тому, в котором измерен β, и на sin θ' sin η 𝑑𝑠'=γ' - в направлении, перпендикулярном α' и β'.

Рассмотрим действие между составляющими α и β, с одной стороны, и между α', β', γ' - с другой.

(1). α и α' лежат на одной прямой. Сила между ними должна быть поэтому тоже направлена вдоль этой прямой. Будем считать её притягивающей, 𝐴αα'𝑖𝑖', где 𝐴 есть функция 𝑟, а 𝑖, 𝑖' - интенсивности токов соответственно в 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠'. Это выражение удовлетворяет условию изменения знака перед 𝑖 и перед 𝑖'.

(2). β и β' параллельны друг другу и перпендикулярны линии, их соединяющей. Действие между ними записывается так: 𝐵ββ'𝑖𝑖'.

Эта сила действует, очевидно, вдоль линии, соединяющей β и β' ибо она должна быть в плоскости, в которой лежат эти составляющие, и если бы мы измерили β и β' в обратном направлении, то это выражение осталось бы неизменным, значит, если оно представляет силу, то такую, у которой нет составляющих в направлении β и которая, следовательно, должна быть направлена по 𝑟. Будем считать, что это выражение, когда оно положительно, соответствует притяжению.

(3). β и γ' перпендикулярны друг к другу, а также к линии, их соединяющей. Единственным возможным действием между расположенными так элементами является пара сил с осью, параллельной 𝑟. Но мы сейчас заняты самими силами и поэтому оставим это в стороне.

(4). Действие α и β' (если они вообще действуют друг на друга) должно выражаться так: 𝐶αβ'𝑖𝑖'.

Знак этого выражения обращается на противоположный при обращении направления, в котором мы измеряем β'. Поэтому оно должно представлять собой либо силу в направлении β', либо момент пары сил в плоскости α и β'. Поскольку мы не изучаем пары, то будем принимать его за силу, действующую на α в направлении β'.

Существует, конечно, и равная ей сила, действующая на β' в противоположном направлении.

По той же причине мы имеем силу 𝐶αγ'𝑖𝑖', действующую на α в направлении γ', и силу 𝐶βα'𝑖𝑖', действующую на β в направлении, противоположном тому, в котором измеряется β.

514. Собирая вместе наши результаты, мы находим, что сила, действующая на 𝑑𝑠, составляется из следующих сил:

𝑋

(𝐴αα'+𝐵ββ')𝑖𝑖'

в направлении

𝑟

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑌

𝐶(αβ'-α'β)𝑖𝑖'

в направлении

𝑍

𝐶αγ'𝑖𝑖'

в направлении

γ'

(9)

Предположим, что это действие на 𝑑𝑠 является результирующей трёх сил: силы 𝑅𝑖𝑖'𝑑𝑠𝑑𝑠', действующей в направлении 𝑟, силы 𝑆𝑖𝑖'𝑑𝑠𝑑𝑠', действующей в направлении 𝑑𝑠, и силы 𝑆'𝑖𝑖'𝑑𝑠𝑑𝑠', действующей в направлении 𝑑𝑠', тогда в выражении через θ θ' и η

𝑅

(𝐴+2𝐶)

cos θ

cos θ'

𝐵

sin θ

sin θ'

cos η

𝑆

-𝐶

cos θ'

𝑆'