Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

515. Далее мы должны подсчитать силу, с которой конечный участок тока 𝑠' действует на конечный участок тока 𝑠. Участок тока 𝑠 тянется от 𝐴, где 𝑠=0, до 𝑃, где оно имеет значение 𝑠, а участок тока 𝑠' тянется от 𝐴', где 𝑠'=0, до 𝑃', где оно имеет значение 𝑠'. Координаты точек на любом из токов являются функциями 𝑠 или 𝑠'.

Если 𝐹 есть функция положения точки, то мы будем употреблять нижний индекс _(𝑠,0) для обозначения превышения значения этой функции в 𝑃 над её значением в 𝐴, т.е. 𝐹_(𝑠,0)=𝐹_𝑃-𝐹_𝐴. Для замкнутых контуров эти функции с необходимостью исчезают.

Пусть 𝑖𝑖'𝑋, 𝑖𝑖'𝑌 и 𝑖𝑖'𝑍 будут составляющими полной силы, с которой 𝐴'𝑃' действует на 𝐴𝑃. Тогда параллельная 𝑋 составляющая силы, с которой 𝑑𝑠' действует на 𝑑𝑠, будет равна

𝑖𝑖'

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

.

Откуда

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

=

𝑅

ξ

𝑟

+

𝑆𝑙

+

𝑆'𝑙'

.

(13)

Подставляя значения 𝑅, 𝑆 и 𝑆' из (12) и помня, что

(𝑙'ξ+𝑚'η+𝑛'ζ)

=

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

,

(14)

и группируя члены, содержащие 𝑙, 𝑚, 𝑛, мы найдём

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

=

𝑙

⎧

⎨

⎩

-(𝐴+2𝐶+𝐵)

1

𝑟²

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

ξ²

+𝐶

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+(𝐵+𝐶)

𝑙'ξ

𝑟

⎫

⎬

⎭

+

𝑚

⎧

⎨

⎩

-(𝐴+2𝐶+𝐵)

1

𝑟²

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

ξη

+𝐶

𝑙'η

𝑟

+𝐵

𝑚'ξ

𝑟

⎫

⎬

⎭

+

𝑛

⎧

⎨

⎩

-(𝐴+2𝐶+𝐵)

1

𝑟²

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

ξζ

+𝐶

𝑙'ζ

𝑟

+𝐵

𝑛'ξ

𝑟

⎫

⎬

⎭

.

(15)

Так как 𝐴, 𝐵 и 𝐶 являются функциями 𝑟, мы можем записать

𝑃

=

∞

∫

𝑟

(𝐴+2𝐶+𝐵)

1

𝑟²

𝑑𝑟

,

𝑄

=

∞

∫

𝑟

𝐶

𝑑𝑟

.

(16)

Здесь интегрирование проводится между 𝑟 и ∞, поскольку 𝐴, 𝐵, 𝐶 исчезают при 𝑟=∞.

Следовательно,

(𝐴+2𝐶+𝐵)

1

𝑟²

=-

𝑑𝑃

𝑑𝑟

 ,

𝐶

=-

𝑑𝑄

𝑑𝑟

 .

(17)

516. Но мы знаем, что, согласно третьему случаю равновесия Ампера, когда 𝑠' является замкнутым контуром, сила, действующая на 𝑑𝑠, перпендикулярна к направлению 𝑑𝑠, или, другими словами, составляющая силы в направлении самого элемента 𝑑𝑠 равна нулю. Предположим в связи с этим, что направление оси 𝑥 параллельно 𝑑𝑠, т.е. положим 𝑙=1, 𝑚=0, 𝑛=0. Уравнение (15) тогда станет таким:

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

=

𝑑𝑃

𝑑𝑠'

ξ-

𝑑𝑄

𝑑𝑠'

+(𝐵+𝐶)

𝑙'ξ

𝑟

.

(18)

Чтобы найти 𝑑𝑋/𝑑𝑠, т.е. силу на 𝑑𝑠, отнесённую к единице длины, мы должны проинтегрировать это выражение по 𝑠'. Интегрируя первый член по частям, находим

𝑑𝑋

𝑑𝑠

=

(𝑃ξ²-𝑄)

_(𝑠',0)

-

𝑠'

∫

0

(2𝑃𝑟-𝐵-𝐶)

𝑙'ξ

𝑟

𝑑𝑠'

.

(19)

Когда 𝑠' составляет замкнутый контур, это выражение должно быть нулём. Первый его член исчезнет сам. Второй член, однако, в случае замкнутого контура, вообще говоря, не исчезает, если величина, стоящая под знаком интеграла, не обращается тождественно в нуль. Следовательно, чтобы удовлетворить условию Ампера, мы должны положить

𝑃

=

1

2𝑟

(𝐵+𝐶)

.

(20)

517. Мы можем теперь исключить 𝑃 и найти общее выражение для 𝑑𝑋/𝑑𝑠

𝑑𝑋

𝑑𝑠

=

⎧

⎨

⎩

𝐵+𝐶

2

ξ

𝑟

(𝑙ξ+𝑚η+𝑛ζ)

+𝑄

⎫

⎬

⎭

(𝑠',0)

+𝑚

𝑠'

∫

0

𝐵-𝐶

2

𝑚'ξ-𝑙'η

𝑟

𝑑𝑠'

-𝑛

𝑠'

∫

0

𝐵-𝐶

2

𝑙'ζ-𝑛'ξ

𝑟

𝑑𝑠'

.

(21)

Когда 𝑠' является замкнутым контуром, первый член этого выражения исчезает, и, если положить

α'

=

𝑠'

∫

0

𝐵-𝐶

2

𝑛'η-𝑚'ζ

𝑟

𝑑𝑠'

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

β'

=

𝑠'

∫

0

𝐵-𝐶

2

𝑙'ζ-𝑛'ξ

𝑟

𝑑𝑠'

,

γ'

=

𝑠'

∫

0

𝐵-𝐶

2

𝑚'ξ-𝑙'ζ

𝑟

𝑑𝑠'

(22)

(где интегрирование распространено на замкнутый контур 𝑠'), то мы сможем записать

𝑑𝑋

𝑑𝑠

=

𝑚γ'-𝑛β'

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

и аналогично

𝑑𝑌

𝑑𝑠

=

𝑛α'-𝑙γ',

𝑑𝑍

𝑑𝑠

=

𝑛β'-𝑙α'.

(23)

Величины α', β', γ' иногда называют определителями контура 𝑠' относительно точки 𝑃 а их результирующая названа Ампером директрисой электромагнитного действия.

Из этого уравнения очевидно, что сила, имеющая компоненты (𝑑𝑋/𝑑𝑠)𝑑𝑠, (𝑑𝑌/𝑑𝑠)𝑑𝑠 и (𝑑𝑍/𝑑𝑠)𝑑𝑠, перпендикулярна как к элементу 𝑑𝑠, так и к его директрисе; эта сила представлена численно площадью параллелограмма, сторонами которого являются элемент 𝑑𝑠 и директриса действия.

На языке кватернионов результирующая сила, действующая на 𝑑𝑠, есть векторная часть произведения директрисы на 𝑑𝑠.

Поскольку мы уже знаем, что директриса есть то же самое, что и магнитная сила, обусловленная единичным током в контуре 𝑠', то далее мы будем говорить о директрисе, как о создаваемой контуром магнитной силе.

518. Теперь мы завершим вычисления составляющих силы, действующей между двумя конечными токами, замкнутыми или разомкнутыми.

Пусть ρ будет новой функцией 𝑟, такой, что

ρ

=

∞

∫

𝑟

(𝐵-𝐶)

𝑑𝑟

,

(24)

тогда в силу (17) и (20)

𝐴+𝐵+2𝐶

=

𝑟

𝑑²

𝑑𝑟²

(𝑄+ρ)

-

𝑑

𝑑𝑟

(𝑄+ρ)

,

(25)

и уравнения (11) становятся такими:

𝑅

=-

𝑑ρ

𝑑𝑟

cos ε

+

𝑟

𝑑²

𝑑𝑠𝑑𝑠'

(𝑄+ρ)

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆

=-

𝑑𝑄

𝑑𝑠'

 ,

𝑆'

=-

𝑑𝑄

𝑑𝑠

 .

(26)

При таких значениях составляющих сил уравнение (13) будет иметь вид

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

=

-cos ε

𝑑ρ

𝑑𝑟

ξ

𝑟

+ξ

𝑑²

𝑑𝑠𝑑𝑠'

(𝑄+ρ)

-𝑙

𝑑𝑄

𝑑𝑠'

+𝑙'

𝑑𝑄

𝑑𝑠

 ,

=

cos ε

𝑑ρ

𝑑𝑥

+

𝑑²{(𝑄+ρ)ξ}

𝑑𝑠𝑑𝑠'

+𝑙

𝑑ρ

𝑑𝑠'

-𝑙'

𝑑ρ

𝑑𝑠

 .

(27)

519. Пусть

𝐹

=

𝑠

∫

0

𝑙ρ

𝑑𝑠

,

𝐺

=

𝑠

∫

0

𝑚ρ

𝑑𝑠

,

𝐻

=

𝑠

∫

0

𝑛ρ

𝑑𝑠

,

(28)

𝐹'

=

𝑠'

∫

0

𝑙'ρ

𝑑𝑠'

,

𝐺'

=

𝑠'

∫

0

𝑚'ρ

𝑑𝑠'

,

𝐻'

=

𝑠'

∫

0

𝑛'ρ

𝑑𝑠'

.

(29)

Эти величины имеют определённые значения для любой заданной точки пространства. Для замкнутых контуров они соответствуют составляющим вектор-потенциалов контуров.

Пусть 𝐿 будет новой функцией 𝑟, такой, что

𝐿

=

𝑟

∫

0

𝑟(𝑄+ρ)

𝑑𝑟

,

(30)

и пусть 𝑀 будет двойным интегралом

𝑠'

∫

0

𝑠

∫

0

ρcos ε

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

,

(31)

который для замкнутых контуров становится их взаимным потенциалом; тогда уравнение (27) может быть записано в виде

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

=

𝑑²

𝑑𝑠𝑑𝑠'

⎧

⎨

⎩

𝑑𝑀

𝑑𝑥

-

𝑑𝐿

𝑑𝑥

+𝐹

-𝐹'

⎫

⎬

⎭

.

(32)

520. Интегрируя по 𝑠 и 𝑠' между заданными пределами, находим

𝑋

=

𝑑𝑀

𝑑𝑥

-

𝑑

𝑑𝑥

(

𝐿

_𝑃𝑃'

-

𝐿

_𝐴𝑃'

-

𝐿

_𝐴'𝑃

+

𝐿

_𝐴𝐴'

),

+

𝐹

_𝑃'

-

𝐹

_𝐴'

-

𝐹'

_𝑃

+

𝐹'

_𝐴

,

(33)

где индексы у 𝐿 характеризуют расстояние 𝑟, функцией которого является 𝐿, а индексы у 𝐹 и 𝐹', характеризуют точки, в которых следует брать значения этих функций.

Исходя из этого, могут быть написаны выражения для 𝑌 и 𝑍. Умножая эти три составляющие соответственно на 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, получаем

𝑋𝑑𝑥

+

𝑌𝑑𝑦

+

𝑍𝑑𝑧

=

𝐷𝑀

-

𝐷(

𝐿

_𝑃𝑃'

-

𝐿

_𝐴𝑃'

-

𝐿

_𝐴'𝑃

+

𝐿

_𝐴𝐴'

)

-

(