Трактат об электричестве и магнетизме

Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶 обозначают соответственно потенциалы этих трёх проводников. Обозначим через 𝑎, 𝑏, 𝑐 их соответственные ёмкости, через 𝑝 - коэффициент индукции между 𝐵 и 𝐶, через 𝑞 - коэффициент индукции между 𝐶 и 𝐴, а через 𝑟 - коэффициент индукции между 𝐴 и 𝐵. Все эти коэффициенты, вообще говоря, меняются с изменением положения 𝐶. Если проводник 𝐶 расположен так, что при его движении в определённых пределах края проводников 𝐴 и 𝐵 не близки к краям 𝐶, мы можем установить вид этих коэффициентов. Если θ есть угол отклонения 𝐶 от 𝐴 к 𝐵, то часть поверхности 𝐴, противолежащая 𝐶, будет уменьшаться с ростом θ. Поэтому, если 𝐴 поддерживается при потенциале 1, а 𝐵 и 𝐶 - при потенциале θ, заряд на 𝐴 будет равен 𝑎=𝑎₀-αθ, где 𝑎₀ и α - некоторые постоянные, и 𝑎 есть ёмкость 𝐴.

Если 𝐴 и 𝐵 симметричны, то ёмкость 𝐵 равна 𝑏=𝑏₀-αθ.

Ёмкость 𝐶 при движении не меняется, потому что движение приводит только к тому, что различные части 𝐶 оказываются противолежащими промежутку между 𝐴 и 𝐵. Поэтому 𝑐=𝑐₀.

Количество электричества, индуцированное на 𝐶, когда потенциал 𝐵 повышен до единицы, равно 𝑝=𝑝₀-αθ.

Коэффициент индукции между 𝐴 и 𝐶 равен 𝑞=𝑞₀+αθ.

Коэффициент индукции между 𝐴 и 𝐵 не меняется при движении 𝐶 и остаётся постоянным, 𝑟=𝑟₀.

Таким образом, электрическая энергия системы равна

𝑊

=

1

2

𝐴²𝑎

+

1

2

𝐵²𝑏

+

1

2

𝐶²𝑐

+

𝐵𝐶𝑝

+

𝐶𝐴𝑞

+

𝐴𝐵𝑟

,

и если Θ - момент силы, действующей в сторону увеличения угла θ, то Θ=𝑑𝑊/𝑑θ, причём величины 𝐴, 𝐵, 𝐶 предполагаются постоянными,

=

1

2

𝐴²

𝑑𝑎

𝑑θ

+

1

2

𝐵²

𝑑𝑏

𝑑θ

+

1

2

𝐶²

𝑑𝑐

𝑑θ

+

1

2

𝐵𝐶

𝑑𝑝

𝑑θ

+

1

2

𝐶𝐴

𝑑𝑞

𝑑θ

+

1

2

𝐴𝐵

𝑑𝑟

𝑑θ

=

=-

1

2

𝐴²α

+

1

2

𝐵²α

-

1

2

𝐵𝐶α

+

1

2

𝐶𝐴α

,

или

Θ

=

α(𝐴-𝐵)

{

𝐶-(𝐴+𝐵)/2

}.

В современной конструкции Томсоновского Квадрантного Электрометра проводники 𝐴 и 𝐵 имеют вид цилиндрической коробки, полностью разделённой на четыре квадранта, каждый из которых изолирован. Квадранты соединены проводами так, что два противоположных квадранта 𝐴 и 𝐴 соединены между собой, как и остальные два квадранта 𝐵 и 𝐵' [рис. 20].

Рис. 20

Проводник 𝐶 подвешен так, чтобы он мог поворачиваться вокруг вертикальной оси, и может состоять из двух расположенных напротив друг друга плоских дуг в четверть окружности, поддерживаемых по краям радиусами. В положении равновесия эти квадранты должны находиться частично в пределах 𝐴, частично в пределах 𝐵, а поддерживающие радиусы должны находиться вблизи от середины квадрантов, составляющих пустотелое основание, так что перегородки коробки и края дуг с радиусами на электроде 𝐶 могут быть настолько далеко друг от друга, насколько это возможно.

Проводник 𝐶 постоянно поддерживается при высоком значении потенциала будучи соединён с внутренней обкладкой лейденской банки, которая образует камеру прибора. Электроды 𝐵 и 𝐴 соединяются первый с Землёй, а второй с телом, потенциал, которого нужно измерить.

Если потенциал этого тела равен нулю, и если прибор налажен, то не должно быть никакой силы, приводящей 𝐶 в движение, но если потенциал 𝐴 имеет тот же знак, что и потенциал 𝐶, тогда 𝐶 будет стремиться повернуться от 𝐴 к 𝐵 с примерно постоянной силой, и подвеска будет закручиваться до тех пор, пока в игру не вступит равная сила и не приведёт к равновесию. В определённых пределах отклонение электрода 𝐶 будет пропорционально произведению

(𝐴-𝐵)

{𝐶-(𝐴+𝐵)/2}

.

Увеличивая потенциал 𝐶, можно увеличить чувствительность прибора, и для малых значений (𝐴+𝐵)/2 отклонение будет приблизительно пропорционально (𝐴-𝐵)𝐶

Об измерениях электрического потенциала

220. Для того чтобы определить большие разности потенциалов в абсолютной мере, мы можем использовать электрометр с притягивающимся диском и сравнить притяжение с действием веса. Если мы в то же самое время измеряем разность потенциалов тех же самых проводников с помощью квадрантного электрометра, мы можем установить абсолютное значение определённых отсчётов по шкале квадрантного электрометра, и таким путём мы можем выразить цену делений квадрантного электрометра через потенциал подвешенной части и через момент кручения подвеса.

Чтобы определить потенциал заряженного проводника, имеющего конечные размеры, мы можем присоединить этот проводник к одному из электродов электрометра, в то время как другой электрод соединён с Землёй или с телом, имеющим известный потенциал. Отсчёт электрометра даст значение потенциала, которое будет иметь проводник, после того как заряд проводника разделится между проводником и той частью электрометра, с которой проводник находится в контакте. Если 𝐾 обозначает ёмкость проводника, а 𝐾', - ёмкость этой части электрометра и если 𝑉 и 𝑉' обозначают потенциалы этих тел перед соединением, то их общий потенциал после соединения будет равен

𝑉

=

𝐾𝑉+𝐾'𝑉'

𝐾+𝐾'

.

Таким образом, первоначальный потенциал проводника был равен

𝑉

=

𝑉

+

𝐾

𝐾

(

𝑉

-𝑉')

.