Трактат об электричестве и магнетизме

Существуют определённые поверхности, потоки через которые равны нулю. Если две из них пересекаются, то линия пересечения является линией потока. В тех случаях, когда поток совпадает по направлению с силой, линии подобного рода называют Линиями Силы. Однако было бы правильнее в электростатике и магнитостатике говорить о них как о линиях индукции, а в электрокинематике - как о Линиях Тока.

15. Существует ещё одно различие между двумя разными видами направленных величин, хотя и очень важное с физической точки зрения, однако не настолько необходимое, чтобы его следовало отмечать ради применения математических методов. Речь идёт о различии между поступательными (продольными) и вращательными свойствами.

Направление и модуль величины могут зависеть от какого-то действия или эффекта, целиком и полностью происходящего вдоль определённой линии, а могут зависеть от чего-то иного, имеющего характер вращения вокруг этой линии, принимаемой за ось. Законы сложения направленных величин, и поступательных (продольных), и вращательных, одинаковы, так что при математическом рассмотрении между величинами этих двух классов нет никаких различий, однако могут существовать некие физические обстоятельства, указывающие, к какому из классов мы обязаны отнести данное частное явление. Так, электролиз состоит в переносе некоторых веществ вдоль линии в одном направлении и некоторых других веществ в противоположном направлении; он представляет собой, очевидно, явление поступательное (продольное), в нём нет никаких признаков эффекта вращения вокруг направления силы.

Отсюда мы делаем вывод, что и электрический ток, который вызывает или сопровождает электролиз, относится к поступательным (продольным), а не к вращательным явлениям.

С другой стороны, северный и южный полюса магнита разделяются не так, как кислород и водород, которые в процессе электролиза появляются на противоположных местах, поэтому у нас нет свидетельства в пользу того, что магнетизм относится к продольным явлениям; в то же время действие магнетизма при вращении плоскости поляризации плоско поляризованного света отчётливо показывает, что магнетизм относится к явлениям вращательным.

О линейных интегралах

16. Операция интегрирования проекции векторной величины вдоль линии имеет важное значение в физике, и потому её следовало бы ясно понимать.

Пусть 𝑥, 𝑦, 𝑧 - координаты точки 𝑃, расположенной на некоторой кривой, длина которой, измеряемая от определённой точки 𝐴, равна 𝑠. Эти координаты будут функциями только одной переменной 𝑠.

Обозначим через 𝑅 численное значение векторной величины в точке 𝑃, и пусть касательная к кривой в этой точке образует с направлением 𝑅 угол ε. Тогда величина 𝑅 cos ε представляет собой составляющую 𝑅 вдоль кривой, а интеграл

𝐿=

𝑠

∫

0

𝑅 cos ε

𝑑𝑠

называется линейным интегралом от 𝑅 вдоль 𝑠.

Это выражение может быть записано так:

𝐿=

𝑠

∫

0

⎛

⎜

⎝

𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝑍

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

,

где 𝑋, 𝑌, 𝑍 - составляющие 𝑅, параллельные осям 𝑥, 𝑦, 𝑧 соответственно.

В общем случае этот интеграл для различных линий, проведённых между 𝐴 и 𝑃 различен. Но когда внутри некоторой области величина

𝑋𝑑𝑥

+

𝑌𝑑𝑦

+

𝑍𝑑𝑧

=

-𝐷Ψ

является полным дифференциалом, то интеграл 𝐿 становится равным 𝐿=Ψ_𝐴-Ψ_𝑃. при этом он одинаков для любых двух путей произвольной формы между точками 𝐴 и 𝑃 при условии, что форма одного пути может быть преобразована в форму другого посредством непрерывного перемещения без выхода за пределы данной области.

О потенциалах

Величина Ψ есть скалярная функция положения точки, и поэтому она не зависит от направлений отсчёта. Её называют Потенциальной Функцией; а про векторную величину с компонентами 𝑋, 𝑌, 𝑍 говорят, что она имеет потенциал Ψ, если

𝑋

=-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

,

𝑌

=-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

,

𝑍

=-

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

.

Если потенциальная функция существует, то поверхности, на которых потенциал постоянен, называются Эквипотенциальными. В любой точке такой поверхности направление 𝑅 совпадает с нормалью к ней; если обозначить через 𝑛 нормаль в точке 𝑃 то 𝑅=-(𝑑Ψ/𝑑𝑛).

Метод представления составляющих вектора через первые производные по координатам от некоторой функции этих координат был предложен Лапласом ⁴ при разработке теории притяжений. Само название «Потенциал» впервые было дано этой функции Грином ⁵, который положил её в основу своего подхода к изучению электричества. Эта работа Грина осталась незамеченной математиками вплоть до 1846 года, а к тому времени большая часть содержащихся в ней важных теорем была уже переоткрыта Гауссом, Шалем (Chasles), Штурмом и Томсоном ⁶.

⁴Méc. Céleste, liv. III.

⁵ Essay on the Application of Mathematical Analisys to the Theories of Electricity and Magnetism, 1828. Reprinted in Crelle’s Journal and in Mr. Ferrers’ edition of Green’s Works.

⁶ Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 483.