Трактат об электричестве и магнетизме

Таким образом, если 𝑢 есть функция 𝑥 и при непрерывном изменении 𝑥 от 𝑥₀ до 𝑥₁ и непрерывно переходит от 𝑢₀ до 𝑢₁ а при изменении 𝑥 от 𝑥₁ до 𝑥₂ и переходит от 𝑢'₁ до 𝑢'₂, причём 𝑢'₁ отличается от 𝑢₁ то про величину 𝑢 говорят, что она имеет разрыв относительно изменения 𝑥 при значении 𝑥=𝑥₁, потому что она меняется от 𝑢₁ до 𝑢'₁ скачком при непрерывном прохождении 𝑥 через 𝑥₁.

Рассмотрим производную от 𝑢 по 𝑥 при значении 𝑥=𝑥₁ как предел дроби (𝑢₂-𝑢)/(𝑥₂-𝑥), когда 𝑥₂ и 𝑥₀ становятся сколь угодно близкими к 𝑥₁. Тогда, если 𝑥₀ и 𝑥₂ всё время находятся по разные стороны от 𝑥₁ предельное значение числителя станет равным 𝑢'₁-𝑢₁, а предельное значение знаменателя обратится в нуль. Если 𝑢 является величиной физически непрерывной, то разрыв может осуществляться только при определённых значениях переменной 𝑥. В этом случае мы можем допустить, что величина 𝑢 имеет бесконечную производную при 𝑥=𝑥₁. Если же 𝑢 не является физически непрерывной, она может быть недифференцируема вообще.

В физических вопросах можно избавиться от идеи разрывности без ощутимых изменений условий рассматриваемой задачи. Если 𝑥₀ ничтожно меньше 𝑥₁, а 𝑥₂ ничтожно больше 𝑥₁ то величина 𝑢₀ почти равна 𝑢₁ а величина 𝑢₂ почти равна 𝑢'₁. И мы можем теперь предположить, что 𝑢 изменяется каким-либо произвольным, но непрерывным образом от 𝑢₀ до 𝑢₂ между пределами 𝑥₀ и 𝑥₂. Во многих физических вопросах можно, сделав вначале такого рода предположение, исследовать затем полученный результат, приближая, а в пределе и совмещая, значения 𝑥₀ и 𝑥₂ со значением 𝑥₁. Если ответ не зависит от произвола, допущенного нами в способе изменения величины 𝑢 (внутри её пределов), мы можем считать его верным также и для разрывных 𝑢.

Разрывность функции от более чем одной переменной

8. Если значения всех переменных, кроме 𝑥, положить постоянными, то разрыв функции будет происходить при некоторых значениях 𝑥, связанных с другими переменными уравнением, которое можно записать так:

φ=φ(𝑥,𝑦,𝑧,…)=0.

Разрыв будет происходить, когда φ=0. При φ положительных функция будет иметь вид 𝐹₂(𝑥,𝑦,𝑧,…), а при φ отрицательных -𝐹₁(𝑥,𝑦,𝑧,…), причём не нужно налагать никаких необходимых связей между 𝐹₁ и 𝐹₂.

Для того, чтобы выразить эту разрывность в математической форме, допустим, что одна из переменных, скажем, переменная 𝑥, представлена как функция от φ и от остальных переменных; допустим также, что 𝐹₁ и 𝐹₂ представлены как функции φ, 𝑦, 𝑧, …. Тогда мы может описать общий вид этой функции с помощыо такой формулы, которая при положительных φ давала бы значения приблизительно равные 𝐹₂, а при отрицательных φ - приблизительно равные 𝐹₁. Эта формула такова:

𝐹=

𝐹₁+𝑒^𝑛φ𝐹₂

1+𝑒^𝑛φ

.

До тех пор, пока число 𝑛 остаётся конечным (хотя и большим), функция 𝐹 будет непрерывной, но если сделать 𝑛 бесконечным, то функция 𝐹 окажется равной 𝐹₂ при положительных φ и 𝐹₁ при отрицательных φ.

Разрывность производных от непрерывных функций

Первые производные от непрерывной функции могут быть и разрывными. Пусть значения переменных, для которых происходит разрыв производных, связаны уравнением

φ=φ(𝑥,𝑦,𝑧,…)=0.

a 𝐹₁ и 𝐹₂ выражены через φ и через (𝑛-1) остальных переменных, скажем, через (𝑦,𝑧,…).

Тогда при φ отрицательных следует брать 𝐹₁, а при φ положительных 𝐹₂, и так как при φ=0 функция 𝐹 сама по себе непрерывна, то 𝐹₁=𝐹₂.

Следовательно, при значении φ, равном нулю, производные 𝑑𝐹₁/𝑑φ и 𝑑𝐹₂/𝑑φ могут быть различными, но производные по любой другой переменной, такие, как 𝑑𝐹₁/𝑑𝑦 и 𝑑𝐹₂/𝑑𝑦, должны быть одинаковыми. Разрывность, таким образом, ограничена только производными по φ, все же другие производные остаются непрерывными.

Периодические и кратные функции

9. Если функция 𝑢 от 𝑥 такова, что её значения при 𝑥, 𝑥+𝑎, 𝑥+𝑛𝑎 одинаковы, как и при всех других значениях 𝑥, отличающихся на 𝑎, то 𝑢 называется периодической функцией 𝑥, а 𝑎 - её периодом.

Если же рассматривать 𝑥 как функцию 𝑢, то для некоторого заданного значения 𝑢 должен существовать бесконечный ряд значений 𝑥, отличающихся друг от друга на величину, кратную 𝑎. В этом случае 𝑥 называется кратной функцией 𝑢, а величина 𝑎 - её циклической постоянной.

Производная 𝑑𝑥/𝑑𝑢 имеет только конечное число значений, отвечающих данному значению 𝑢.

О соотношении между физическими величинами и направлениями в пространстве