Трактат об электричестве и магнетизме

Интеграл от этой величины, обращающийся в нуль на бесконечности, называется Потенциальной Функцией.

В теории притяжения эта функция была впервые применена Лапласом при расчёте притяжения Земли. Грин в своём исследовании «О применении математического анализа к электричеству» дал ей название Потенциальной Функции. Гаусс независимо от Грина также пользовался термином Потенциал. Клаузиус и другие понимали под Потенциалом работу, которая была бы совершена при удалении двух тел или систем на бесконечное расстояние друг от друга. Мы будем придерживаться применения этого слова в том смысле, в каком оно используется в последних английских работах и избегнем неопределённости, приняв следующее определение сэра У. Томсона.

Определение потенциала. Потенциал в Точке - это работа, которая была бы совершена электрическими силами над единичным положительным зарядом, внесённым в эту точку без искажения распределения заряда, при переносе его из этой точки на бесконечное расстояние, или, что то же самое-работа внешнего источника при переносе единичного положительного заряда из бесконечности (или из любого места, где потенциал равен нулю) в данную точку.

Выражение напряжённости и её составляющих через потенциал

71. Поскольку полная электродвижущая сила вдоль любой дуги АВ равна 𝐸_𝐴𝐵=𝑉_𝐴-𝑉_𝐵, то, положив дугу АВ равной 𝑑𝑠 получим для составляющей напряжённости в направлении 𝑑𝑠: 𝑅 cos ε=-(𝑑𝑉/𝑑𝑠), откуда, приняв последовательно 𝑑𝑠 параллельными каждой из осей, получим

𝑋

=-

𝑑𝑉

𝑑𝑥

,

𝑌

=-

𝑑𝑉

𝑑𝑦

,

𝑍

=-

𝑑𝑉

𝑑𝑧

,

𝑅

=

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎫½

⎬

⎭

.

Саму напряжённость, величина которой равна 𝑅 а составляющие равны 𝑋, 𝑌, 𝑍 мы будем обозначать готической буквой 𝔈 как в п. 68.

Потенциал во всех точках внутри проводника одинаков

72. Проводник - это тело, которое позволяет электричеству перемещаться от одной части тела к другой под действием электродвижущей силы. Если электричество находится в равновесии, то внутри проводника не может быть электродвижущей напряжённости. Таким образом, 𝑅=0 во всем объёме, занятом проводником. Отсюда следует, что (𝑑𝑉/𝑑𝑥)=0, (𝑑𝑉/𝑑𝑦)=0, (𝑑𝑉/𝑑𝑧)=0, так что для всех точек проводника 𝑉=𝐶 где 𝐶 - постоянная величина.

Поскольку потенциал во всех точках внутри проводника равен 𝐶, величину 𝐶 называют Потенциалом проводника. 𝐶 можно определить как работу, которую должна совершить внешняя сила, чтобы перенести единичный заряд из бесконечности на проводник в предположении, что распределение электричества не искажается в присутствии этого единичного заряда.

В п. 246 будет показано, что в общем случае контакта двух тел различного рода через поверхность контакта действует электродвижущая сила от одного тела к другому, так что, когда они находятся в равновесии, потенциал одного тела выше потенциала другого. Поэтому мы пока будем считать, что все наши проводники сделаны из одного и того же металла и находятся при одинаковой температуре.

Если потенциалы проводников A и B равны соответственно 𝑉_𝐴 и 𝑉_𝐵, то электродвижущая сила вдоль проволоки, соединяющей A и В, равна 𝑉_𝐴-𝑉_𝐵 в направлении от A к B, т.е. положительное электричество будет стремиться перейти с проводника с большим потенциалом на другой проводник.

В науке об электричестве Потенциал находится в таком же соотношении с Электричеством, как Давление - с Жидкостью в Гидростатике или Температура - с Теплотой в Термодинамике. И Электричество, и Жидкость, и Теплота стремятся перейти из одного места в другое, если соответственно потенциал, давление или температура в первом месте больше, чем во втором. Жидкость, безусловно, является веществом, теплота, конечно, не является веществом, так что, хотя аналогии такого рода и могут оказать помощь в формировании представлений о формальных соотношениях между электрическими величинами, нужно быть внимательным, чтобы та или иная аналогия не была истолкована как указание на то, что электричество - это вещество, подобное воде, или состояние возбуждения, подобное теплоте.

Потенциал произвольной электрической системы

73. Если имеется единственный точечный заряд величины 𝑒 и 𝑟 - расстояние точки 𝑥', 𝑦', 𝑧' от этого заряда, то

𝑉

=

∞

∫

𝑟

𝑅

𝑑𝑟

=

∞

∫

𝑟

𝑒

𝑟²

𝑑𝑟

=

𝑒

𝑟

.

Если же имеется произвольное число точечных зарядов 𝑒₁, 𝑒₂ и т. д. в точках с координатами (𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁), (𝑥₂, 𝑦₂, 𝑧₂), и т. д. и их расстояния до точки (𝑥', 𝑦', 𝑧') равны 𝑟₁, 𝑟₂ и т. д., то потенциал системы в точке (𝑥', 𝑦', 𝑧') равен 𝑉=∑(𝑒/𝑟).

Если плотность заряда в произвольной точке (𝑥, 𝑦, 𝑧) заряженного тела равна ρ, то потенциал, создаваемый телом, равен

𝑉

=

∭

ρ

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где 𝑟={(𝑥-𝑥)²+(𝑦-𝑦)²+(𝑧-𝑧)²}^½ а интегрирование производится по всему телу.

О доказательстве закона обратных квадратов