Трактат об электричестве и магнетизме

Фактически Кавендиш сам отмечает, что, согласно его собственной гипотезе о строении электрической жидкости, распределение электричества на двух геометрически подобных проводниках не может быть в точности подобным, если только заряды проводников не пропорциональны объёмам. Действительно, он предполагает, что частицы электрической жидкости плотно спрессованы вблизи поверхности тела, а это эквивалентно предположению о том, что закон взаимодействия не является законом обратных квадратов, и для сильно сблизившихся частиц расталкивание начинает расти значительно быстрее с дальнейшим уменьшением расстояния между ними.

Поверхностный интеграл от электрической индукции и электрическое смещение через поверхность

75. Пусть 𝑅 - результирующая напряжённость в произвольной точке поверхности, а ε - угол, который она образует с нормалью, проведённой к положительной стороне поверхности. Тогда 𝑅 cos ε - составляющая напряжённости по нормали к поверхности, и если 𝑑𝑆 - элемент поверхности, то электрическое смещение через 𝑑𝑆 будет, согласно п. 68, равно (1/4π)𝐾𝑅 cos ε𝑑𝑆. Поскольку мы сейчас не рассматриваем никаких диэлектриков, кроме воздуха, то 𝐾=1.

Мы можем, однако, избежать на этой стадии применения теории электрического смещения, назвав величину 𝑅 cos ε𝑑𝑆. Индукцией через элемент 𝑑𝑆. Эта величина хорошо известна в математической физике, но название её мы заимствовали у Фарадея. Поверхностный интеграл от индукции равен ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆. Из п. 21 следует, что если 𝑋, 𝑌, 𝑍 - составляющие 𝑅 и если они непрерывны в области, ограниченной замкнутой поверхностью 𝑆 то индукция, отсчитываемая изнутри наружу, равна

∬

𝑅 cos ε

𝑑𝑆

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где интегрирование проводится по всему объёму, охватываемому поверхностью.

Индукция через замкнутую поверхность, обусловленная отдельным силовым центром

76. Пусть в точке O находится количество электричества 𝑒 и пусть 𝑟 - расстояние произвольной точки Р от точки О. Тогда напряжённость в этой точке равна 𝑅=𝑒𝑟^-2 и направлена по ОР.

Пусть из точки О проведена в произвольном направлении прямая в бесконечность. Если точка О находится вне заданной замкнутой поверхности, то эта прямая либо не пересечёт этой поверхности, либо выйдет из неё столько же раз, сколько войдёт. Если О находится внутри поверхности, то прямая должна сначала выйти из поверхности, а потом она может попеременно входить и выходить любое число раз, но в конце концов она должна выйти из поверхности.

Пусть ε - угол между ОР и наружной нормалью к поверхности в точке, где её пересекает ОР. Там, где прямая выходит из поверхности, cos ε положителен, а там, где входит, - отрицателен.

Опишем теперь вокруг точки О сферу единичного радиуса, и пусть прямая ОР описывает коническую поверхность с малым углом раскрыва и с вершиной в точке О.

Этот конус вырежет малый элемент 𝑑ω на поверхности сферы и малые элементы 𝑑𝑆₁, 𝑑𝑆₂, и т. д. на замкнутой поверхности в различных местах пересечения прямой ОР с нею.

Поскольку каждый из этих элементов 𝑑𝑆 пересекает конус на расстоянии 𝑟 от вершины и наклонён под углом ε, то 𝑑𝑆=±𝑟² sec ε𝑑ω, а так как 𝑅=𝑒𝑟^-2, то 𝑅 cos ε𝑑𝑆=±𝑑ω. При этом положительный знак берётся, когда 𝑟 выходит из поверхности, а отрицательный - когда входит.

Если точка О находится вне поверхности, то положительных значений столько же, сколько отрицательных, так что для любого направления ∑𝑅 cos ε𝑑𝑆=0, и, следовательно, ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆=0, где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности.

Если же точка О находится внутри замкнутой поверхности, то радиус-вектор ОР сначала выходит из поверхности, что даёт положительный вклад 𝑒𝑑ω а потом равное число раз входит и выходит, так что в этом случае ∑𝑅 cos ε𝑑𝑆=𝑒𝑑ω.

Взяв интеграл по всей замкнутой поверхности, мы охватим всю сферическую поверхность, площадь которой равна 4π, так что

∬

𝑅 cos ε

𝑑𝑆

=

𝑒

∬

𝑑ω

=

4π𝑒

.

Таким образом, мы заключаем, что полная индукция в наружном направлении через замкнутую поверхность, обусловленная силовым центром 𝑒 находящимся в точке О, равна нулю, если точка О находится вне поверхности, и равна 4π𝑒 если точка О находится внутри поверхности.

Поскольку в воздухе смещение равно индукции, делённой на 4π, то смещение через замкнутую поверхность, отсчитываемое наружу, равно количеству электричества внутри поверхности.

Следствие. Отсюда следует также, что если поверхность не замкнута, а ограничена некоторой заданной замкнутой кривой, то полная индукция через эту поверхность равна ω𝑒, где ω - телесный угол из точки О, опирающийся на эту замкнутую кривую. Эта величина зависит, следовательно, только от самой замкнутой кривой, а форма поверхности, ограниченной этой кривой, может меняться произвольным образом, лишь бы только она не переходила с одной стороны силового центра на другую.

Об уравнениях Лапласа и Пуассона