Трактат об электричестве и магнетизме

Повторяя рассуждения п. 21, получим

∬

𝑅 cos ε

𝑑𝑆

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

+

∬

{

𝑙

(𝑋

₂

-𝑋

₁

)

+𝑚

(𝑌

₂

-𝑌

₁

)

+𝑛

(𝑍

₂

-𝑍

₁

)

}

𝑑𝑆

,

(10)

где трехкратный интеграл берётся по всему объёму внутри замкнутой поверхности, а двукратный - по поверхности разрыва.

Подставляя значения входящих сюда величин согласно (7), (8) и (9), получим

4π𝑒

=

∭

4πρ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

-

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

+

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

.

(11)

Но по определению объёмной плотности ρ и поверхностной плотности а

4π𝑒

=

4π

∭

ρ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

4π

∬

σ

𝑑𝑆

.

(12)

Сравнивая два последних слагаемых этих уравнений, получим

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

+

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

+

4πσ

=0.

(13)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для 𝑉 на заряженной поверхности с поверхностной плотностью σ.

78 в. Если 𝑉 - функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая в данной непрерывной области пространства уравнению Лапласа

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

=0

и в некоторой конечной части этой области 𝑉 постоянно и равно 𝐶, то 𝑉 постоянно и равно 𝐶 во всей области, где справедливо уравнение Лапласа.

Если 𝑉 не равно 𝐶 во всей области, то обозначим через 𝑆 поверхность, ограничивающую конечную область, где 𝑉=𝐶.

На поверхности 𝑆 𝑉=𝐶.

Пусть ν - наружная нормаль к поверхности 𝑆. Поскольку 𝑆 является границей непрерывной области, в которой 𝑉=𝐶, то при перемещении по нормали от поверхности 𝑆 значение 𝑉 начинает отличаться от 𝐶. Таким образом, 𝑑𝑉/𝑑ν сразу вне поверхности может быть положительно или отрицательно, но не может быть равно нулю, за исключением нормалей на граничной линии между положительной и отрицательной областью.

Для нормали ν', направленной внутрь поверхности 𝑆 очевидно, 𝑉'=𝐶 и (𝑑𝑉'/𝑑ν')=0.

Итак, в каждой точке поверхности 𝑆, за исключением некоторых граничных линий,

𝑑𝑉

𝑑ν

+

𝑑𝑉'

𝑑ν'

(=-4πρ)

является конечной величиной, положительной или отрицательной, так что на всей поверхности 𝑆, кроме некоторых граничных линий, разделяющих положительные и отрицательные области, имеется непрерывное распределение заряда.

На этой поверхности уравнение Лапласа не выполняется (за исключением точек, лежащих на некоторых линиях). Таким образом, поверхность 𝑆, ограничивающая область, внутри которой 𝑉=𝐶 охватывает всю непрерывную область, в которой выполняется уравнение Лапласа.

Сила, действующая на заряженную поверхность

79. Общие выражения для составляющих силы, действующей на заряженное тело, параллельных трём координатным осям, имеют вид

𝐴

=

∭

ρ𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(14)

и аналогичные выражения для составляющих 𝐵 и 𝐷, параллельных осям 𝑦 и 𝑧.

Однако на заряженной поверхности ρ бесконечно, а 𝑋 может претерпевать разрыв, так что рассчитать силу непосредственно по этим формулам мы не можем.

Однако мы показали, что разрыв претерпевает лишь составляющая напряжённости, нормальная заряженной поверхности, две другие составляющие остаются непрерывными.

Примем ось 𝑥 перпендикулярной поверхности в данной точке и допустим также, по крайней мере на первом этапе рассмотрения, что 𝑋 меняется в действительности не скачком, а непрерывно от 𝑋₁ до 𝑋₂ при изменении 𝑥 от 𝑥₁ до 𝑥₂. Если в результате расчёта мы получим определённый предел для силы при 𝑥₂-𝑥₁ стремящемся к нулю, мы сможем считать его справедливым при 𝑥₂=𝑥₁ когда заряженная поверхность имеет нулевую толщину.

Подставляя для ρ его значение по п. 77, получим

𝐴

=

1

4π

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(15)

Интегрирование по 𝑥 от 𝑥=𝑥₁ до 𝑥=𝑥₂ даёт

𝐴

=

1

4π

∬

⎡

⎢

⎣

1

2

(𝑋

2

2

-𝑋

2

1

)+

𝑥₂

∫

𝑥₁

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑋

𝑑𝑥

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(16)

Таково значение 𝐴 для слоя, параллельного плоскости 𝑦𝑧 толщиной 𝑥₂-𝑥₁.

Поскольку 𝑌 и 𝑍 непрерывны, то (𝑑𝑌/𝑑𝑦)+(𝑑𝑍/𝑑𝑦) конечно, а поскольку 𝑋 также конечно, то

𝑥₂

∫

𝑥₁

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑋

𝑑𝑥

<

𝐶

(𝑥

₂

-𝑥

₁

)

,

где 𝐶 - наибольшее значение [(𝑑𝑌/𝑑𝑦)+(𝑑𝑍/𝑑𝑦)]𝑋 между 𝑥=𝑥₁ и 𝑥=𝑥₂.

При неограниченном уменьшении 𝑥₂-𝑥₁ этот член стремится к нулю, так что

𝐴

=

∬

1

8π

(𝑋

2

2

-𝑋

2

1

)

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(17)

где 𝑋₁ - значение 𝑋 на отрицательной стороне поверхности, а 𝑋₂ - на положительной.

Согласно п. 78б,

𝑋

₂

-

𝑋

₁

=

𝑑𝑉₁

𝑑𝑥

-

𝑑𝑉₂

𝑑𝑥

=

4πσ

,

(18)

так что (17) можно переписать в виде

𝐴

=

∬

1

2

(𝑋

₂

+𝑋

₁

)

σ

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(19)

Здесь 𝑑𝑦𝑑𝑧 - элемент поверхности, σ - поверхностная плотность, а (𝑋₂+𝑋₁)/2 - арифметическое среднее значение электродвижущих напряжённостей по обе стороны поверхности.

Таким образом, на элемент заряженной поверхности действует сила, составляющая которой по нормали к поверхности равна произведению заряда этого элемента на арифметическое среднее значений нормальной составляющей напряжённости по обе стороны поверхности.

Поскольку обе оставшиеся составляющие электродвижущей напряжённости не испытывают разрыва, вычисление их вклада в силу, действующую на поверхность, не вызывает осложнений.

Теперь мы можем считать, что нормаль к поверхности расположена произвольным образом относительно осей координат, и написать общее выражение для составляющих силы, действующей на элемент поверхности 𝑑𝑆:

𝐴

=

½

(𝑋

₁

+𝑋

₂

)

σ

𝑑𝑆

,

𝐵

=

½

(𝑌

₁

+𝑌

₂

)

σ

𝑑𝑆

,

𝐶

=

½

(𝑍

₁

+𝑍

₂

)

σ

𝑑𝑆

,

(20)

Заряженная поверхность проводника

80. Мы показали выше (п. 72), что всюду в веществе проводника при электрическом равновесии 𝑋=𝑌=𝑍=0, так что 𝑉 постоянно. Следовательно,

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

=

4πρ

=

0,