Трактат об электричестве и магнетизме

77. Поскольку значение полной индукции одного силового центра через замкнутую поверхность зависит лишь от того, находится ли он внутри поверхности или нет, и никак не зависит от положения этого центра, то если имеется несколько таких силовых центров 𝑒'₁, 𝑒'₂ и т. д. внутри поверхности и несколько центров 𝑒₁, 𝑒₂ и т. д. вне поверхности, то ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆=4π𝑒, где 𝑒 означает алгебраическую сумму количеств электричества всех силовых центров внутри замкнутой поверхности, т. е. полное количество электричества, находящееся внутри поверхности, причём смоляное электричество считается отрицательным.

Если электричество распределено внутри поверхности так, что плотность его нигде не обращается в бесконечность, то согласно п. 64 4π𝑒=4π∭ρ𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, а согласно п. 75

∬

𝑅 cos ε

𝑑𝑆

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

Если мы примем в качестве поверхности замкнутую поверхность, ограничивающую элемент объёма 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 то, приравнивая эти выражения, получим

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

=

4πρ

.

Если существует потенциал 𝑉, то согласно п. 71

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

+

4πρ

=

0.

Это уравнение в случае плотности, равной нулю, называется Уравнением Лапласа. В более общей форме оно было впервые приведено Пуассоном. Оно позволяет нам при известном потенциале во всех точках определить распределение электричества. Обозначим, как в п. 26, величину

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

через -∇²𝑉 Тогда мы можем выразить уравнение Пуассона словами: плотность электричества, умноженная на 4π есть концентрация потенциала ∇²𝑉. Там, где нет заряда, нет концентрации потенциала, в этом и заключается интерпретация уравнения Лапласа.

Согласно п. 72 потенциал 𝑉 постоянен внутри проводника. Значит, внутри проводника объёмная плотность заряда равна нулю, и весь заряд должен быть на поверхности проводника.

Если предположить, что при поверхностном и линейном распределении электричества объёмная плотность ρ остаётся конечной, а электричество распределено в виде тонкого слоя или узкой нити, то в пределе, увеличивая ρ и уменьшая толщину слоя или сечение нити, мы можем прийти к истинному поверхностному или линейному распределению. Уравнение для потенциала, справедливое в процессе всего предельного перехода, останется справедливым и в пределе, если его интерпретация соответствует реальным обстоятельствам.

Изменение потенциала на заряженной поверхности

78 а. Потенциальная функция 𝑉 должна быть физически непрерывной в смысле п. 7, за исключением граничных поверхностей между двумя различными средами, на которых, как мы увидим в п. 246, может существовать разность потенциалов между различными веществами, так что при равновесии электричества потенциал в некоторой точке одного вещества больше потенциала в смежной точке второго вещества на постоянную величину С, зависящую от природы обоих веществ и от их температуры.

Что касается первых производных от 𝑉 по 𝑥, 𝑦 или 𝑧, то они могут быть разрывны, и, согласно п. 8, точки разрыва должны лежать на поверхности, уравнение которой можно записать в виде

φ=φ(𝑥,𝑦𝑧)=0,

(1)

Эта поверхность отделяет область отрицательного φ от области положительного φ.

Пусть 𝑉₁ - потенциал в произвольной заданной точке в отрицательной области, а 𝑉₂ - потенциал в произвольной заданной точке положительной области. Тогда в любой точке на поверхности, где φ=0, которую можно считать принадлежащей обеим областям,

𝑉

₁

+

𝐶

=

𝑉

₂

,

(2)

где 𝐶 - постоянная разность потенциалов (если таковая имеется) между положительной и отрицательной сторонами поверхности.

Пусть 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали ν₂ в данной точке поверхности в сторону положительной области. Направляющие косинусы нормали ν₁ в сторону отрицательной области будут -𝑙, -𝑚 и -𝑛.

Скорости изменения 𝑉 вдоль нормалей будут равны

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

=

-𝑙

𝑑𝑉₁

𝑑𝑥

-𝑚

𝑑𝑉₁

𝑑𝑦

-𝑛

𝑑𝑉₁

𝑑𝑧

,

(3)

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

=

𝑙

𝑑𝑉₂

𝑑𝑥

+𝑚

𝑑𝑉₂

𝑑𝑦

+𝑛

𝑑𝑉₂

𝑑𝑧

.

(3)

Проведём на поверхности какую-либо кривую, и пусть 𝑠 - длина, отсчитываемая вдоль этой кривой от некоторой фиксированной точки на ней. В каждой точке поверхности, а значит, и в каждой точке этой кривой, 𝑉₂-𝑉₁=𝐶. Дифференцируя это равенство по 𝑠, получим

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₂

𝑑𝑥

-

𝑑𝑉₁

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₂

𝑑𝑦

-

𝑑𝑉₁

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₂

𝑑𝑧

-

𝑑𝑉₁

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑧

𝑑𝑠

=0,

(5)

а поскольку нормаль перпендикулярна этой кривой, то

𝑙

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+𝑛

𝑑𝑧

𝑑𝑠

=0.

(6)

Из (3), (4), (5) и (6) следует, что

𝑑𝑉₂

𝑑𝑥

-

𝑑𝑉₁

𝑑𝑥

=

𝑙

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

+

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

,

(7)

𝑑𝑉₂

𝑑𝑦

-

𝑑𝑉₁

𝑑𝑦

=

𝑚

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

+

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

,

(8)

𝑑𝑉₂

𝑑𝑧

-

𝑑𝑉₁

𝑑𝑧

=

𝑛

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

+

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

.

(9)

Если рассматривать изменение электродвижущей напряжённости в точке при прохождении через поверхность, то составляющая напряжённости, перпендикулярная поверхности, может скачком измениться на поверхности, но две другие составляющие, параллельные касательной плоскости, остаются непрерывными при пересечении поверхности.

78 б. Чтобы определить величину заряда на поверхности, рассмотрим замкнутую поверхность, находящуюся частично в положительной области и частично в отрицательной, так что она охватывает часть поверхности разрыва.

Поверхностный интеграл ∬𝑅 cos ε 𝑑𝑆 по этой поверхности равен 4π𝑒 где 𝑒 - количество электричества внутри замкнутой поверхности.