Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

ПАРАДОКСЫ

Парадокс — это рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Рекурсия в языке порой становится причиной парадоксов, в частности, как в двух первых случаях из числа представленных ниже. Третий случай является удивительным примером математической задачи с тремя разными решениями.

1. Некий брадобрей бреет только тех, кто не бреется сам. Кто должен брить самого брадобрея?

2. Слово «гетерологичный» означает «неприменимый к самому себе». Является ли само слово «гетерологичный» гетерологичным словом?

3. Парадокс Бертрана. В окружности случайным образом проводится хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет превышать длину стороны равностороннего треугольника, вписанного в эту же окружность? Эту вероятность можно рассчитать тремя разными способами и получить три разных результата: 1/2, 1/3 и 1/4.

* * *

Как породить и приручить чудовище

Найти смысл и значение основных математических понятий всегда было творческой задачей. Существует множество простых уравнений, о которых говорят, что они не имеют решения, так как число, которое было бы их решением, не имеет смысла в наиболее часто используемой системе чисел.

В поле натуральных чисел, которые используются при счете, не имеет решения следующее уравнение, так как единственно возможное его решение не является натуральным числом:

2х = 1.

Однако это уравнение имеет решение в области дробных, то есть рациональных чисел:

Аналогично, очень простое уравнение

х² = 2

не имеет решения в поле рациональных чисел. Именно с этой проблемой столкнулись древние греки. Однако им пришлось принять этот «чудовищный» результат, поскольку он являлся решением одной из простейших геометрических задач — задачи о нахождении диагонали квадрата единичной стороны.

Решение этого уравнения и этой задачи расширяет поле чисел так называемыми вещественными числами:

Можно подумать, что некоторые уравнения не имеют решений просто потому, что не существует чисел, которые описывали бы их решения, и, следовательно, решение имеет всякое уравнение. Суть проблемы в том, принадлежит решение этого уравнения к известным на данный момент числам или нет. Приведем еще один пример: мы говорим, что уравнение

х² = —1

не имеет решения. Однако оно не имеет решения потому, что мы считаем х вещественным числом — конечной или бесконечной дробью, периодической либо нет.

Однако существует значение х, которое является решением этого уравнения, и выглядит оно «чудовищно»:

В середине XVI века Джероламо Кардано нашел формулу решения кубических уравнений, но, применив ее к уравнению х³ — 15х — 4 = 0, он столкнулся с проблемой. Нетрудно показать, что решением этого уравнения является х = 4. Однако решение, найденное по формуле Кардано, выглядело совершенно иначе:

Перед нами — еще одно «чудовище». Какой смысл имеет квадратный корень из отрицательного числа? Как соотносится подобное число с известным нам решением х = 4? Если мы примем квадратные корни из отрицательных чисел как числа, то какое значение они будут иметь?

Лишь в начале XIX века корни из отрицательных чисел получили свое значение: они стали составной частью комплексных чисел и им были поставлены в соответствие точки в декартовых координатах. Множество комплексных чисел, обозначаемое символом С, расширяет поле вещественных чисел. Комплексное число — это число, состоящее из двух частей: вещественной и мнимой. Мнимая часть представляет собой произведение вещественного числа на i — корень из минус единицы, также называемый мнимой единицей. Рассмотрим два комплексных числа, а и Ь:

i = √-1

a = 2 + 3i

b = 1/2 — i√5.