Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Возникает вопрос: почему одни узлы бесконечные, а другие — нет? Перед тем как начать поиск ответа, рассмотрим, как строятся такие узлы. Их основой является сетка с квадратными ячейками, на сторонах которых выбирается последовательность точек, через которые проходит нить узла:

За счет этого узлы можно описывать числом вершин на каждой из сторон сетки, через которые проходит нить узла. Первый из улов, представленных выше, — узел 3 x 2, второй — 3 x 3, последний — 6 x 4. Узел 3 x 2 располагается на сетке размером 6 х 4 и проходит через вершины 1–3–3 в горизонтальных рядах и через вершины 1–3 — в вертикальных рядах. Сетка 6 x 4 понимается как (1 + 2·2 + 1) х (1 + 2 + 1). Остальные узлы описываются аналогично. Узел 3 x 3 располагается на сетке 6 х 6 = (1 + 2·2 + 1) х (1 + 2·2 + 1), узел 6 x 4 — на сетке 12 х 8 = (1 + 2·5 + 1) х (1 + 2·3 +1).

Можно сказать, что ответ на вопрос, будет ли узел бесконечным, зависит от числа вершин, через которые проходит нить на каждой стороне сетки. Узел 3 х 2 является бесконечным, так как образован одной нитью. Узел 3 х 3 не является бесконечным, так как состоит из трех нитей. Узел 6 x 4 также не является бесконечным и состоит из двух нитей.

В чем же ключ к решению задачи? Нить смещается влево, вправо, вверх и вниз. Если бы мы не ограничивались одним прямоугольником, а продолжили узел дальше по вертикали и по горизонтали, то смогли бы понять суть проблемы. Рассмотрим узел (3 х 2):

Мы начинаем с точки 1, затем, сместившись на две единицы вправо, попадаем в 3, затем в 2 и наконец снова в 1. Получается числовая последовательность, которая циклически повторяется до бесконечности:

[1, 3, 2] = 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1…

На сетке размером (4 х 2) требуется два таких цикла:

В первом случае мы перепрыгиваем через две клетки. Полный цикл завершается после шести шагов, когда мы возвращаемся в исходную точку 1. Мы обошли все цифры 1, 2 и 3. Во втором случае для обхода всех цифр требуется два цикла:

Почему? Потому что 4 делится на 2. Если мы начинаем цикл в точке 1, то мы всегда будем проходить через точки 1 и 3 и никогда — через 2 и 4. Для этого потребуется новый цикл с началом в точке 2. В предыдущем случае цикл завершается после 6 = НОК (3, 2) этапов, и требуется всего один цикл, так как НОД (3, 2) = 1.

Это же происходит и в примере с сеткой 6 x 4, где НОД (6, 4) = 2 цикла, и на сетке 3 х 3, где число циклов равно 3 = НОД (3, 3). Подведем итог.

Теорема: На сетке размером (m, n) число циклов равно НОД (m, n).

Следствие 1: Если m и n — взаимно простые, то на сетке (m, n) имеется единственный бесконечный цикл.

Следствие 2: На сетке размером (m, n) число петель равняется 2 х (m + n).

Задача садовника: равносторонний треугольник как частный случай равнобедренного

При посадке деревьев в шахматном порядке саженцы располагаются в вершинах воображаемых равносторонних треугольников — это гарантирует, что все деревья будут располагаться друг от друга на одинаковом расстоянии:

Если математику дать задачу о построении подобной сетки с треугольными ячейками, он, скорее всего, начнет искать способ построения равносторонних треугольников, применимый на практике, и буквально со стопроцентной вероятностью предложит евклидово решение, приведенное в предложении 1 книги I «Начал».

Предложение 1 из «Начал» Евклида: построение равностороннего треугольника на данном отрезке АВ.

Для этого построения нужно заменить циркуль веревкой, длина которой равна длине стороны искомого треугольника. Садовод должен обходить участок, проводя дуги окружностей и отмечая точки их пересечения.

Сначала он отметит точки на одной прямой, равноудаленные друг от друга:

Затем, использовав каждую из этих точек в качестве центра окружности, он проведет дуги, которые пересекутся в вершинах равносторонних треугольников:

В результате садовод определит, где нужно посадить деревья.

Так эту задачу решил бы математик. Однако, согласно Жиль-Альберу (1999), садоводы строят сетку из треугольных ячеек следующим образом: