Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Сумма чисел в скобках рассчитывается по формуле из предыдущей главы:

В нашем случае:

С одной стороны, если k — четное, то 2n + k также будет четным, а 2n + k + 1 будет нечетным. С другой стороны, если k — нечетное, то k + 1 четное, и 2n + k + 1 также будет четным.

В любом случае один из множителей в знаменателе будет нечетным.

Следовательно, сумма последовательных чисел имеет как минимум один нечетный делитель. Это означает, что в виде суммы последовательных натуральных чисел можно представить только числа, имеющие нечетный делитель. Так как у чисел, являющихся степенями 2, нет нечетных делителей, имеем следующую теорему:

только числа, которые являются степенями 2, нельзя представить как сумму последовательных натуральных чисел.

Приведя подобные слагаемые в суммах последовательных чисел, увидим, откуда появляется этот нечетный множитель:

Если число слагаемых n нечетное, этим нечетным множителем будет n, если же число слагаемых n четное, то этим нечетным множителем будет 2n + 1. В любом случае один из сомножителей будет нечетным.

* * *

КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855)

Этот немецкий математик, который родился в Брауншвейге и умер в Гёттингене, был вундеркиндом. Он получил хорошее образование благодаря не отцу, а матери. Гаусс никак не мог решить, что ему следует изучать — философию или математику. В начале весны 1796 года он сделал выбор в пользу математики, и наука весьма благодарна ему за это, так как Гаусс в итоге стал одним из величайших математиков всех времен. Несомненно, на его решение повлиял тот факт, что в тот самый весенний день ему удалось построить с помощью циркуля и линейки правильный 17-угольник. Как математик Гаусс совершил много важных открытий, но этим успехом он гордился больше всего — настолько, что попросил высечь этот многоугольник на своем надгробии, на что мастер возразил, что высечь эту фигуру будет очень сложно и ее будет почти невозможно отличить от окружности.

Портрет Гаусса.

Этот немецкий математик доказал, что правильный 17-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Глава 4 Межкультурное и творческое взаимодействие

До сих пор мы говорили о наиболее типичном аспекте математической деятельности — о том, как человек, сталкивающийся с событиями и явлениями, пытается объяснить их с точки зрения математики. Мы не углублялись в культурные и социальные аспекты математики, хотя в первой главе отметили, что именно они играют основную роль в ее развитии.

Математика формируется в рамках определенного социального и культурного контекста, который в значительной степени определяет ее развитие как внутри научной среды, так и вне ее. Следовательно, социокультурные факторы влияют на математическое творчество, так как придают одним задачам большую важность, чем другим, и если в одной культуре определенные задачи считаются очень важными, то в другой культурной среде им не уделяется никакого внимания.

Этноматематика — это раздел науки, изучающий развитие математики в определенных группах культур. Благодаря этноматематике мы знаем, что в разных частях света люди по-разному производят вычисления, по-своему воспринимают геометрические фигуры и используют для решения одних и тех же задач разные алгоритмы. С одной стороны, это доказывает творческую природу каждой культуры, с другой стороны — делает возможным межкультурное взаимодействие.

Далее мы вкратце расскажем о том, как автор этой книги накапливал новые математические знания вне своей научной среды и вне родной ему западной культуры. Надеемся, что читатель снисходительно отнесется к крайне субъективному характеру повествования.

Пока что мы всегда говорили об эвристике в рамках определенной культуры — как в пределах академической среды, так и за ними. Теперь мы выйдем за рамки нашей культурной парадигмы и посмотрим, как математическое творчество соотносится с различными культурными и социальными аспектами, как оно связано с ними.