Удовольствие от X. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире

Так как всего в группу риска попало 77 (7 + 70 = 77) женщин — но только семь из них на самом деле больны раком груди, — вероятность того, что у женщины рак груди, при условии положительной маммографии, составляет 7 из 77, или 1 из 11, то есть примерно 9 %.

Отметим два упрощения в приведенных выше подсчетах. Во-первых, мы округлили десятые доли до целых чисел. Так бывает в случаях, подобных тому, где мы сказали «Из восьми женщин, больных раком груди, семь имеют положительную маммографию». В действительности надо было сказать: 90 % из 8 женщин, или 7,2. Таким образом, мы немного пожертвовали точностью для большей ясности изложения.

Во-вторых, мы исходили из того, что все происходит именно с той частотностью, которая предполагается данной вероятностью. Например, поскольку вероятность рака груди составляет 0,8 %, мы предположили, что им больны именно 8 женщин из 1000 нашей гипотетической выборки. Но эти цифры могут не совпадать с реальностью. События не обязаны соответствовать вероятности своего наступления, ведь, если подбросить монетку 1000 раз, необязательно 500 раз выпадет орел. Но, решив, что так и будет, мы получим правильный ответ для подобных задач.

Обычно такая логика считается несколько сомнительной, поэтому ученые мужи смотрят свысока на данный подход в сравнении с более строгой, но сложной в использовании теоремой Байеса. Однако ясность ответа является достаточным аргументом для его применения. Когда Гигеренцер провел повторный опрос еще среди двадцати четырех врачей, на этот раз используя целочисленные вероятности, практически все ответили правильно.

Хотя перевод данных в натуральные числа возможных исходов оказывает нам огромную услугу, задачи по условной вероятности могут ставить в тупик по другим причинам[127]. Здесь существует опасность неверной постановки вопроса или подсчета правильной, но вводящей в заблуждение вероятности.

Этим грешили как обвинение, так и защита во время судебного процесса над О. Дж. Симпсоном в 1994–1995 годах[128]. Обе стороны попросили суд рассмотреть ложную условную вероятность.

Обвинение в течение первых десяти дней процесса доказывало, что Симпсон неоднократно проявлял насилие в отношении своей бывшей жены Николь Браун: регулярно избивал, унижал и прилюдно раздевал, говоря окружающим: «Это принадлежит мне». Однако каким образом эти действия относились к процессу об убийстве? Аргументом обвинения было то, что насилие в семье выступало как мотив убийства. По словам одного из обвинителей, «удар — это прелюдия убийства».

Защитник обвиняемого Алан Дершовиц[129] приводил доводы, что даже если бы голословные утверждения о домашнем насилии оказались правдой, они не относятся к делу и, следовательно, недопустимы. Позднее он написал: «Нам необходимо было доказать, что среди тех, кто избивает своих партнеров, лишь ничтожно малое число, менее 1 из 2500, совершают убийство».

В действительности же обе стороны просили суд рассмотреть вероятность того, что Симпсон убил бывшую жену, принимая во внимание тот факт, что при жизни он ее избивал. Однако специалист в области статистики И. Гуд отметил, что для этого не существует верного доказательства, на которое можно было бы сослаться.

Вопрос на самом деле в следующем: какова вероятность того, что муж убил свою бывшую жену, если до убийства он ее бил и она была кем-то убита? Условная вероятность в таком случае очень далека от схемы 1 на 2500.

Чтобы разобраться почему, представим себе выборку из 100 тысяч избитых женщин. Ссылаясь на предоставленные Дершовицем цифры — 1 из 2500, допустим, что примерно сорок из этих женщин были убиты мужьями в этом году (поскольку 100 000 разделить на 2500 равно 40). Можно также предположить, что еще трое из них убиты кем-либо другим[130] (эта оценка основана на статистике ФБР, касающейся количества женщин, убитых в 1992 году). Итак, из этих 43 жертв 40 были убиты теми, кто их избивал. Другими словами, в 93 % случаев убийцей являлось лицо, избивавшее женщину.

Не путайте это число с вероятностью того, что это сделал Симпсон. Она зависит от множества других обстоятельств, от разных «за» и «против». Например, от заявления защиты о том, что полиция выдвинула Симпсону ложные обвинения, а также от заявления обвинения, что убийца и Симпсон носили одинаковую обувь, перчатки и имели почти одинаковый код ДНК.

Какова вероятность того, что что-нибудь из перечисленного изменит ваше мнение о вынесенном приговоре? Ноль.

24. Распутывание всемирной паутины

В те далекие времена, когда Google еще не существовало, поиск в сети был безнадежным занятием[131]. Сайты, предлагаемые старыми поисковыми машинами, часто не соответствовали запросу, а те, которые содержали нужную информацию, были либо глубоко запрятаны в списке результатов, либо вообще отсутствовали.