Удовольствие от X. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире

Простые числа делятся только на единицу и самих себя. Они занимают свое место в бесконечном ряду простых чисел, которые, как и остальные числа, зажаты между двумя другими, но на один шаг дальше, чем предыдущие. Эти числа подозрительны и одиноки, и Маттиа казалось, что они волшебные. Иногда он думал, что они очутились в этом ряду по ошибке, как жемчужины, нанизанные на нитку ожерелья. А порой ловил себя на мысли, что они тоже предпочли бы быть обычными числами, однако по какой-то причине не сложилось. […]

Учась на первом курсе университета, Маттиа узнал, что среди простых чисел есть еще более причудливые экземпляры. Математики называют их простыми числами-близнецами: это пара близлежащих друг к другу чисел, находящихся почти рядом, но между ними всегда стоит четное число, которое не дает им по-настоящему воссоединиться. Это, например, числа 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43. Если набраться терпения и продолжить считать дальше, то вы увидите, что постепенно такие пары встречаются все реже. Вы сталкиваетесь с простыми числами, которые становятся все более одинокими, потерянными в этом молчаливом, измеренном пространстве, состоящем только из цифр, и у вас возникает тяжелое предчувствие того, что предыдущие пары чисел были случайными, и их истинное предназначение — одиночество. Потом, когда вы уже готовы сдаться и вам больше не хочется считать, вы встречаете еще одну пару близнецов, крепко держащихся друг за друга. Среди математиков существует убеждение, что, как бы далеко ты ни зашел, всегда можно найти еще пару чисел, даже если никто точно не знает, где они будут обнаружены.

Маттиа думал, что они с Аличе похожи на эти простые числа-близнецы, одинокие и потерянные, близкие, но не до такой степени, чтобы прикоснуться друг к другу.

Здесь я хотел бы остановиться на нескольких красивых идеях из приведенного отрывка, в частности на моменте, касающемся одиночества простых чисел и простых чисел-близнецов. Эти проблемы — центральные в теории чисел[143], самой чистой области математики, изучающей целые числа и их свойства.

Однако прежде чем подняться в облака, давайте разберемся с вопросом, который часто возникает у прагматиков. Есть ли какая-либо польза от теории чисел? Есть. Теория чисел представляет собой основу алгоритмов[144], ежедневно используемых, чтобы обеспечить безопасность проведения транзакций в интернете, а также для шифрования секретных переговоров, имеющих стратегическое значение. Эти алгоритмы построены на сложности разложения очень больших чисел на простые множители.

Но это не единственная причина, по которой математики так одержимы простыми числами. Истинная причина кроется в их фундаментальности. Простые числа — атомы арифметики. Согласно греческому происхождению слова «атом», простые числа являются «атомными», то есть «неделимыми». И подобно тому как все сложено из атомов, каждое число слагается из простых чисел. Например, 60 равно 2 × 2 × 3 × 5. Мы говорим, что 60 — это составное число, и его можно представить в виде произведения простых множителей 2 (дважды), 3 и 5.

А как быть с 1? Это простое число? Нет. И когда мы поймем это, то узнаем, почему 1 — самое одинокое число, даже более одинокое, чем любое простое число.

Оно не заслуживает того, чтобы принимать его во внимание. Учитывая то, что число 1 делится только на 1 и на само себя, его действительно можно считать простым числом, как это и было на протяжении многих лет. Однако современные математики решили удалить его из простых чисел исключительно ради удобства. Если бы число 1 принималось во внимание, оно нарушило бы ход доказательства теоремы, а ее хотелось бы считать верной. Другими словами, мы изменили определение простых чисел, чтобы получить желаемую теорему, согласно которой любое число можно разложить на множители из простых чисел единственным способом. Однако если рассматривать число 1 как простое, разложение на множители не будет единственным. Например, 6 равно 2 × 3, но оно также равно 1 × 2 × 3, 1 × 1 × 2 × 3 и так далее, и нам пришлось бы согласиться, что все эти варианты правомочны. Конечно, это глупо, но мы были бы обречены на такие муки, если бы включили число 1 в состав простых чисел.

Эта маленькая грязная история весьма поучительна и приоткрывает завесу тайны над тем, как иногда делается математика. Наивно полагать, что мы создаем нерушимые определения, а затем выводим из них любые теоремы. Все не так просто. В данном случае при желании мы можем изменить формулировку, тем более что незначительная коррекция позволяет получить более чистую теорему.

Теперь, когда мы отбросили число 1, давайте посмотрим на другие, полноценные простые числа. Главное, что мы о них знаем, — они непостижимы и непроницаемы. Еще никто никогда не находил для них точной формулы. В отличие от настоящих атомов, они не следуют никакой простой модели и совсем не похожи на периодическую таблицу элементов.