Удовольствие от X. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире

Вероятно, самая хитрая область применения топологии та, где лента Мебиуса вообще не используется. Такие вариации на тему кручений и связей могут оказаться полезны в случае, если к вам на завтрак нагрянут гости. Это изобретение Джорджа Харта, папы Ви. Он геометр и скульптор, а в прошлом — преподаватель информатики в университете Стони Брука и куратор музея математики в Нью-Йорке. Джордж придумал, как разрезать бублик пополам так, чтобы две половинки остались сцепленными, как звенья цепи[162].

Преимущество этого изобретения в том, что можно не только развлечь гостей, но и получить дополнительную площадь для намазывания сливочным сыром.

28. Мысли глобально

Появление наиболее известных идей геометрии обусловлено тем, что древние видели мир плоским[163]. В геометрических утверждениях, от леммы о параллельных прямых до теоремы Пифагора, прослеживаются вечные истины о некоем воображаемом двумерном ландшафте плоской геометрии.

Задуманная в Индии, Китае, Египте и Вавилоне более 2500 лет назад, систематизированная и уточненная Евклидом и древними греками, эта геометрия, построенная на представлении о плоской Земле, — основная (и зачастую единственная), которой сегодня учат в старших классах средней школы. Но ведь за последние несколько тысячелетий многое изменилось.

В эпоху глобализации, интернета и межконтинентальных воздушных путешествий всем необходимо иметь представление о сферической геометрии и ее современном обобщении, дифференциальной геометрии[164]. Основным идеям последней около 200 лет. Своим возникновением она обязана Карлу Гауссу и Бернхарду Риману. Дифференциальная геометрия подводит фундамент под такое величественное интеллектуальное здание, как общая теория относительности Эйнштейна. В ее основе лежат красивые концепции, и они могут быть постигнуты каждым, кто когда-либо ездил на велосипеде, смотрел на глобус или растягивал резиновый шнур. Их понимание поможет вам разобраться в нескольких курьезах, которые вы могли заметить во время своих путешествий.

Например, когда я был маленьким, папа любил задавать мне загадки по географии. «Что севернее, — спрашивал он, — Рим или Нью-Йорк?» Большинство людей думают, что Нью-Йорк, но удивительно, оба города находятся почти на одной широте, причем Рим даже немного севернее. На обычной карте мира (где из-за ошибочности меркаторовой проекции[165] Гренландия выглядит гигантской) кажется, что, двигаясь на восток, можно попасть прямо из Нью-Йорка в Рим. Тем не менее пилоты никогда не летят по этому маршруту. Из Нью-Йорка они всегда летят на северо-восток, придерживаясь побережья Канады. Раньше я думал, они это делают из соображений безопасности, но оказалось, был не прав. Просто с учетом кривизны Земли это самый прямой маршрут.[166] Кратчайший способ добраться из Нью-Йорка в Рим — пролететь вдоль канадской провинции Новая Шотландия и Ньюфаундленда, далее проследовать над Атлантикой и наконец, пройдя к югу от Ирландии и пролетев всю Францию, достичь солнечной Италии.

Такой путь называется дугой большой окружности. Как и прямые в обычном пространстве, большие окружности на сфере содержат кратчайшие пути между любыми двумя точками. Яркие примеры больших окружностей — экватор и меридиональные окружности, проходящие через Северный и Южный полюс.

Еще одно свойство, общее для больших окружностей и прямых, заключается в том, что это самые прямые и короткие пути между двумя точками. Возможно, это звучит странно, поскольку все пути на глобусе кривые, так что же тогда подразумевается под «прямой»? Нетрудно заметить, что на шаре одни кривые более изогнуты, чем другие. Кривизна больших окружностей обусловлена лишь тем, что она вынуждена повторять изогнутость поверхности сферы.

Чтобы понять это, представьте, что вы едете на крошечном велосипеде по поверхности шара и пытаетесь не сбиться с определенного пути. Если это часть большой окружности, то переднее колесо велосипеда все время будет направлено строго прямо вперед. Вот в таком смысле большие окружности прямые. В противоположность этому, если вы попытаетесь ехать вдоль линии широты вблизи одного из полюсов, вам придется постоянно держать руль повернутым в сторону полюса.

Конечно, ни одна реальная поверхность не может состоять только из простых плоскостей и сфер. Например, человеческое тело, консервная банка или бублик имеют различного рода отверстия и проходы, которые делают запутанными передвижения по таким поверхностям. В этой ситуации задача поиска кратчайшего пути между любыми двумя точками становится чрезвычайно сложной. Поэтому, вместо того чтобы искать технические решения, применим интуитивный подход. Вот где пригодятся резиновые шнуры.