Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Греческая геометрия имела ограничения; некоторые из них удалось преодолеть благодаря применению новых методов и концепций. Евклид фактически ограничил геометрические чертежи теми, что можно было выполнить с помощью линейки без делений и пары ножек циркуля (здесь акцент на слове «циркуль»: слово «пара» используется так же, как в выражении «резать бумагу парой ножниц», так что не будем излишне педантичны). Иногда говорят, что он сделал это обязательным требованием, но оно касалось его чертежей, а не общих правил. С помощью дополнительных инструментов можно было построить и иные фигуры – идеальные в той же степени, в какой может быть идеальным круг, начерченный циркулем.

Шар и описанный вокруг него цилиндр

Например, Архимед знал, что вы можете сделать трисекцию угла при помощи линейки с двумя зафиксированными метками. Греки называли этот метод построения «невсис». Теперь нам известно (судя по всему, это уже предполагали греки), что точная трисекция угла при помощи линейки и циркуля невозможна, а значит, вклад Архимеда расширил границы возможного. Еще две знаменитые проблемы того времени – удвоение куба (построение тела, чей объем вдвое больше объема исходного) и квадратура круга – построение квадрата, равновеликого площади заданного круга. Их также невозможно решить только при помощи циркуля и линейки.

Дальнейшее расширение разрешенных операций в геометрии – введение нового вида кривых, конических сечений, – отразилось в арабских работах о кубических уравнениях, созданных около 800 г. н. э., и широко применялось в механике и астрономии. Эти кривые, что крайне важно для истории математики, получаются при пересечении плоскости с двойным конусом.

Палимпсест с трудами Архимеда

Конические сечения

Сегодня мы знаем три главных типа таких конических сечений.

• Эллипс – замкнутая овальная кривая – возникает, когда плоскость пересекает только одну половину конуса. Окружность – разновидность эллипса.

• Гипербола – кривая с двумя бесконечно длинными ветвями – получается, когда плоскость пересекает обе половины конуса.

• Парабола – переходная кривая между эллипсом и гиперболой, параллельная воображаемой линии, проходящей через вершину конуса и лежащей на его поверхности. Имеет только одну ветвь, уходящую в бесконечность.

Конические сечения подробно изучал Аполлоний Пергский, перебравшийся из Перги в Малой Азии в Александрию, чтобы учиться у последователей Евклида. Его главный труд, «Конические сечения», написан около 230 г. до н. э. и содержит 487 теорем. Евклид и Архимед лишь косвенно изучили некоторые свойства конусов, но пришлось написать целую книгу, чтобы собрать все теоремы Аполлония. Одна из важнейших его идей заслуживает особого внимания. Это упоминание о фокусах эллипса (либо гиперболы). Фокусы – две особые точки, характерные для этих двух фигур. Они имеют много свойств, но для нас важно одно: сумма расстояний от любой точки эллипса до обоих его фокусов есть величина постоянная (равная удвоенному большому диаметру эллипса). Фокусы гиперболы имеют то же свойство, но здесь этой же постоянной величине соответствует разница между аналогичными расстояниями.