Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

ЧТО ГЕОМЕТРИЯ ДАЕТ НАМ

Формула Архимеда для вычисления объема шара действует и сейчас. Одно из приложений, требующих особенно точного значения π, – стандарты мер и весов, используемые всеми учеными. Например, многие годы метр определялся как длина стержня из определенного вида металла при определенной температуре.

Все больше современных единиц измерения сейчас описывают в таких величинах, как, например, время, необходимое атому определенного элемента для совершения какого-то числа колебаний. Но многие единицы измерений по-прежнему основаны на физических объектах, и масса тела – одна из них. Сегодня один килограмм можно определить как массу одного особого шара из чистого кремния, хранящегося в Париже. Шар был обработан с необычайно высокой точностью. Плотность кремния также была измерена очень точно. А формула Архимеда необходима для вычисления объема шара, который связывает плотность с массой.

Принцип трассировки луча и получение отражения

Еще один пример современного применения геометрии – компьютерная графика. Кинематограф всё шире использует возможности сгенерированного компьютером изображения (computer-generated images, CGI), и часто это необходимо, чтобы включить в картинку отражения – в зеркале, бокале вина, любой поверхности, отражающей свет. Без них теряется реалистичность. Самый эффективный способ этого добиться – трассировать луч. Когда мы смотрим на сцену под каким-то определенным углом, наш глаз реагирует на луч света, отраженный от объекта на сцене и попавший в глаз с этого направления. Мы можем отследить путь этого луча в обратном направлении. От любой отражающей поверхности луч отскакивает, так что исходный и отраженный угол одинаковы (см. рис. выше). Перевод этого геометрического факта в численные выражения позволяет компьютеру трассировать луч по обратному пути, сколько бы точек отражения ни потребовалось ему, прежде чем он встретит на своем пути что-то непрозрачное (здесь может быть несколько точек – если, например, поставить перед зеркалом бокал вина).

Глава 3. Народы и числа

Откуда взялись привычные нам цифры