Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Мы так привыкли к нашей системе счисления с использованием десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, что для некоторых настоящим потрясением становится существование иных способов изображения числа. Но даже в наши дни во многих культурах – арабской, китайской, корейской – для десяти цифр применяют другие символы, хотя все комбинируют их для обозначения больших чисел при помощи метода позиционирования (сотни, десятки, единицы). Но разница в обозначениях может быть еще больше. Десять – вовсе не такое уж незаменимое число. Да, оно отражает число пальцев на обеих руках, удобно для счета, но если бы у нас было по семь пальцев или по двенадцать, то очень схожие системы работали бы ничуть не хуже, а то и лучше.

Римские цифры

На Западе многие знакомы по крайней мере с одной альтернативной системой – римскими цифрами. Например, год 2007 в ней выглядит как MMVII. Многие из нас смогут, если им напомнить, назвать по меньшей мере два способа изображения чисел, которые не являются целыми: обычные дроби, как ³/₄, и десятичные, например 0,75. Но есть еще один способ цифровой записи, используемый в калькуляторах: экспоненциальная запись для изображения сколь угодно больших и сколь угодно малых чисел, например 5 × 10⁹ для пяти миллиардов (часто в виде выражения 5Е9 на экране калькулятора) или 5 × 10^–6 для пяти миллионных.

Эти системы символов развивались тысячелетиями, и в культурах появлялись самые разные их альтернативы. Мы уже упоминали о шестидесятеричной системе вавилонян (которая, естественно, удовлетворила бы любое существо с 60 пальцами) и более простые, но ограниченные египетские символы со странным делением на доли. Позже в Центральной Америке майя изобрели и использовали двадцатеричную систему. Человечество остановилось на современной символике относительно недавно, и она также прошла через фильтр из традиций и условностей. И хотя математика – наука концепций, а не символов, удачный выбор символов для нее очень важен.

Греческие цифры

Историю символов для изображения цифр продолжили древние греки. Греческая геометрия стоит на порядок выше вавилонской, а вот арифметика – насколько мы можем судить по сохранившимся источникам – нет. Греки даже сделали большой шаг назад: они не воспользовались возможностями позиционной системы счисления. Они предпочли особые символы для чисел, кратных 10 или 100, так что, например, символ для 50 имел мало общего с изображениями 5 или 500.

Первые свидетельства записи чисел в Греции датируются примерно 1100 г. до н. э. Около 600 г. до н. э. они изменились и к 450 г. до н. э. скорректировались еще раз с принятием аттической системы счисления, немного похожей на римскую. В ней использовались символы I, II, III и IIII для чисел 1, 2, 3 и 4. Для числа 5 греки взяли заглавную «пи» (Π), возможно потому, что это первая буква в слове «пента» («пять»), 10 изображалось как Δ, первая буква в слове «дека» («десять»), 100 – как Η, первая буква в «гекатон» («сотня»), 1000 – как Ξ, первая буква «хилиои» («тысяча»), 10 000 – как Μ, первая буква «мюриой» («мириада».). Позже Π заменили на Γ. Итак, число 2178, например, было бы записано как ΞΞΗΔΔΔΔΔΔΔΓIII.

Пифагорейцы сделали числа основой своей философии, но мы так и не знаем, как они их изображали. Их одержимость квадратными и треугольными числами позволяет предположить, что они обозначали числа сочетаниями точек. В период классицизма, между 600 и 300 г. до н. э., греческая система снова изменилась, и 27 разных букв их алфавита стали выражать числа от 1 до 900, как в этой таблице.

Здесь мы уже видим строчные греческие буквы, дополненные тремя дополнительными, заимствованными из финикийского алфавита: (стигма), (коппа) и (сампи).

Чтобы отличать буквы, обозначающие цифры, греки ставили над ними горизонтальную черту. Для чисел больше 999 значение их символа могло быть умножено на 1000, если перед ним поставить штрих.

Разные способы, предложенные греками, удовлетворяли потребность записывать результаты подсчетов, но не были приспособлены для выполнения самих расчетов (попробуйте, например, представить себе умножение σμγ на ωλδ). Возможно, процесс подсчета был заменен использованием абака или просто камешками в песке, особенно в ранние времена.