Урожаи и посевы

Рассмотрим совокупность всех пучков над заданным (топологическим) пространством, или, если угодно, тот диковинный арсенал, образованный всеми эталонами метра, служащими для его измерения[47]. Мы рассмотрим эту «совокупность», или «арсенал», как снабженный наиболее очевидной структурой, которую ему можно приписать, так сказать, «на глазок» — именно, структурой, называемой «категорией». (Читателю, не знакомому с термином в техническом смысле, не о чем беспокоиться. Это совсем не понадобится в дальнейшем.) Это нечто вроде «сверхструктуры измерения» по имени «категория пучков» (над рассматриваемым пространством), которая впредь будет считаться как бы «воплощающей» то, что наиболее существенно для пространства. Это законно (с точки зрения «математического здравого смысла»), поскольку оказывается возможным «воссоздать» полностью исходное топологическое пространство[48] в терминах «категории пучков» (или арсенала измерительных приборов), ему соответствующей. (Проверить это — простое упражнение; конечно, когда вопрос уже поставлен…) Ничего больше не нужно для уверенности в том, что (если это почему-либо для нас заманчиво) мы отныне можем «забыть» об исходном пространстве, чтобы держать в уме и использовать только соответствующую «категорию» (или «арсенал»), которая будет рассматриваться как наиболее адекватное олицетворение топологической (или «пространственной») структуры, о выражении которой идет речь.

Как это часто бывает в математике, нам удалось (благодаря решающему влиянию идеи о пучке, или «когомологическом метре») выразить некоторое понятие («пространства», в данном случае) в терминах другого («категории»). Всякий раз открытие такого перевода понятия (отражающего определенное положение вещей) на язык другого понятия (соответствующего ситуациям иного типа) обогащает наше представление о каждом из них путем неожиданного слияния особенностей интуитивного восприятия, характерных для одного и другого. Так, ситуация по природе «топологическая» (воплощенная в данном пространстве) оказывается здесь представленной ситуацией по природе «алгебраической» (воплощенной в «категории»); или, если угодно, «непрерывное», воплощенное в образе пространства, предстает «переданным», или «выраженным» структурой категории, по природе «алгебраической» (воспринимавшейся до сих пор как существенно «разрывная», или «дискретная»).

Более того, первое из этих понятий — пространства — казалось нам в каком-то смысле понятием (по содержательности) «максимальным» — настолько уже обобщенным, что едва ли можно себе представить его расширение, которое оставалось бы в рамках «разумного». Напротив, другая сторона зеркала[49], эти «категории» (или «арсеналы»), с которыми сталкиваются, сойдя с крыльца топологических пространств, имеют весьма частную природу. Они располагают в действительности набором свойств в высшей степени типических[50], что делает их как бы «имитациями» самой простой из них, какую только можно вообразить — той, которую получают, исходя из пространства, сведенного к одной точке. То есть «пространство в новом стиле» (или топос), обобщающее традиционные топологические пространства, будет описываться попросту как «категория», которая, не вытекая с необходимостью из обыкновенного пространства, тем не менее обладает всеми хорошими свойствами (единожды четко для всех определенными, разумеется) этой «категории пучков».

* * *

Вот это и есть новая идея. Ее возникновение можно рассматривать как результат наблюдения, сказать по правде, почти детской простоты, что то, что на самом деле важно в топологическом пространстве — это отнюдь не его «точки» и не его «подмножества»[51] с отношениями близости между ними, но пучки над этим пространством и категория, которую они образуют. В том, чего я добился, я лишь довел до логического конца исходную идею Лерэ — тем самым переступил нечто, решившись сделать шаг.

Как сама идея о пучках (принадлежащая Лерэ), или о схемах, как всякая «большая идея» (концепция), которая переворачивает вверх дном закоснелое, устоявшееся мировосприятие, идея топоса ошеломляет своей естественностью, «очевидностью», простотой (на грани, я бы сказал, наивности и простоты даже «глуповатой») — тем особенным свойством, которое так часто вынуждает нас восклицать: «О, это невозможно!» — полуразочарованно, полузавистливо, еще, пожалуй, с оттенком, который можно передать словами «сумасбродно», «несерьезно», припасенными у всех, кто в ужасе шарахается, неожиданно столкнувшись с чем-то простым до неприличия. С тем, что нам напоминает, быть может, дни нашего младенчества, спрятанные глубоко в памяти, ибо мы давно от них отреклись…

14. Перерождение понятия пространства, или смелость и вера