Успенский пишет о Колмогорове

Как это случилось и с работой 1925 года, новая работа Колмогорова по интуиционистской логике осталась малоизвестной. По-видимому, Клини не знал об этой работе, когда он писал свою знаменитую статью о реализуемости [16].  Семантика реализуемости, оказавшаяся столь плодотворной, перекликается с ранними идеями Колмогорова из [10].

Вообще есть какая-то тайна в судьбе этих двух работ. Несмотря на всемирную репутацию их автора, они остались практически неизвестными за пределами России. Как уже говорилось, многие результаты были переоткрыты другими исследователями. Даже и сейчас, как я мог убедиться после своего переезда в США, значение и само существование этих работ неизвестно многим первоклассным экспертам на Западе. Можно надеяться, что статья Успенского, опубликованная по-английски и в одном из самых читаемых логических журналов, поможет исправить эту достойную сожаления ситуацию[xviii].

5. Дальнейшая часть обзора Успенского посвящена трудам Колмогорова по общей теории алгоритмов и алгоритмическим основаниям теории вероятностей. Следует сказать, что В.А. Успенский принял самое живое участие в этой деятельности А.Н. Колмогорова. Широко известная ныне общая концепция алгоритма, задуманная Колмогоровым и реализованная им совместно с Успенским, по-видимому даёт наиболее общее точное описание интуитивных алгоритмов. Алгоритмы, подпадающие под эту концепцию, обычно называют алгоритмами Колмогорова-Успенского. Я специально подчёркиваю это обстоятельство, не отмеченное В.А. по понятным причинам. Определение Колмогорова-Успенского оказалось очень плодотворным, как с точки зрения приложений (теория сложности), так и с точки зрения оснований математики. Если в других классических точных определениях (машина Тьюринга, рекурсивные функции, нормальные алгорифмы Маркова и т.д.) ставилась задача воспроизвести работу любого интуитивного математического алгоритма посредством некоторого алгоритма из данного точного класса (возможность всегда достичь этой цели и провозглашалась Тезисом Чёрча, тезисом Тьюринга, принципом нормализации и т.д.), то определение Колмогорова-Успенского пытается непосредственно представить наиболее общие мыслимые математические алгоритмы. Анализ природы финитарных процессов, приводящий к упомянутому определению, представляет большой методологический интерес. Некоторые авторы полагают даже, что этот анализ доставляет легитимное доказательство Тезиса Чёрча (см. интересную работу Мендельсона [20]).

Несомненный исторический интерес представляют замечания Успенского о семинаре «Рекурсивная Арифметика», которым Колмогоров пригласил его соруководить в 1953/1954 учебном году. Историкам математики будет небесполезно проследить связь между трудами по дескриптивной теории множеств московской школы Лузина и изучением рекурсивно-перечислимых множеств в этом семинаре[xix]. (Если я не ошибаюсь, аналогичные события происходили примерно в то же время и на семинарах П.С. Новикова.) На этом же семинаре Колмогоровым были высказаны основные идеи будущей теории нумераций, впервые развитые в точной форме В.А. Успенским.

Ярко представлен Успенским и один из последних творческих подвигов А.Н. Колмогорова – создание им и  очередным поколением его учеников основ алгоритмической теории информации и теории вероятностей. Эти труды А.Н. Колмогорова ведут непосредственно в сегодняшний день. Соответствующие теории ещё не обрели завершенные формы, продолжается поиск основных концепций, оттачивается интуиция. Драматические начальные шаги этого процесса, протекавшие в 60-е годы, во всей их живой полноте представлены Успенским. Я могу только дополнить его описание несколькими наблюдениями и воспоминаниями, поскольку я тоже был непосредственным свидетелем происходящего.

Мне не довелось быть непосредственным учеником Колмогорова, и мои личные встречи с ним были немногочисленны. Но каждая навсегда врезалась в память. Первая такая встреча произошла в середине 60-х годов, когда я был аспирантом на кафедре математической логики. С.А. Яновская планировала организовать заседание Математического Общества по программным методам обучения с участием ведущих математиков, педагогов и психологов. Написав записку А.Н., она попросила меня отвезти это послание на дачу в Болшево-Комаровке, вблизи Москвы, которую Колмогоров в течение многих лет разделял с П.С. Александровым. Дача эта, конечно же, была знаменита в математических кругах. Дело было зимним холодным вечером, и я нашёл не особенно приметный дом не без труда.