Успенский пишет о Колмогорове

Ответ Колмогорова на этот вызов вкратце состоит в следующем. Во-первых, употребление закона исключённого третьего вполне оправдано в случае конечных совокупностей, т.е. в области финитарных суждений. Во-вторых, имеет место гораздо более сильное обстоятельство: если бы противоречие было найдено в классической теории, свободно оперируюшей с принципом исключённого третьего, то противоречие существовало бы и в одноимённой интуиционистской теории, в которой использование этого принципа ограничено только безопасными финитными случаями. Иными словами, принцип исключённого третьего не добавляет новых противоречий. И если в первом положении чувствуется заметное влияние Гильберта, то вторая идея (погружения классической математики в интуиционистскую) представляется ошеломляюще новой. Техническим аппаратом для реализации такого погружения оказывается концепция формализации математических теорий, разработанная Гильбертом, и идея погружающей операции, открытая Колмогоровым. Помимо оправдания употребления закона исключённого третьего (важнейшего математического орудия с самых древних времён) подход Колмогорова доставляет, очевидно, и определённое обоснование нашей замечательной, но, как и всё замечательное, не вполне безопасной способности оперировать с актуальной бесконечностью. Классическая математика с её актуально бесконечными множествами погружается в математический мир, где бесконечность допускается лишь в своей гораздо более мягкой, потенциальной форме.

В 1974 году А.Г. Драгалина[xv] и меня попросили написать статью об интуиционизме для третьего издания Большой Советской Энциклопедии. Статья ([11]) была направлена на отзыв Колмогорову. Когда я увидел рукопись с колмогоровскими замечаниями, я ещё раз поразился свежести его восприятия математической и философской области, которую он оставил столько лет назад...