Успенский пишет о Колмогорове

– Конференция была интересной, очень интересной. Большой успех. Очень интересно. Я услышал много замечательных докладов. Но самый понятный доклад сделал вчера Х. Давно я не слышал такого понятного доклада. Да, конечно, я не посчитал предполных классов в трёхзначной логике. Софья Александровна[xiii] говорила мне тогда: «Саша, посчитай классы!» А я не посчитал! – здесь А.В. с полным удовольствием зажмурился и погрузил лицо своё в тёплый солнечный свет... –  Я...поленился!

Задевать А.В., как видно, было небезопасно.

4. Когда в 1961 или в 1962 году, будучи студентом мех-мата, я выбрал специализацию по кафедре математической логике (ср.[5]),интерес к философии и основаниям математики был одним из мотивов. Тогда же я сделал доклад об интуиционистской математике на семинаре по истории математики, а несколько позже на семинаре по математической логике и конструктивной математике (под руководством А.А. Маркова и Н.М. Нагорного). Основным источником моей эрудиции в то время были две небольшие книжки Вейля и Гейтинга [6–7], переведённые ещё до войны известным историком математики А.П. Юшкевичем. Из интересных воспоминаний Юшкевича о Колмогорове [8] можно узнать, что Колмогоров был инициатором этих великолепно выполненных переводов (в то время я ещё пребывал в блаженном неведении трудностей, с которыми сталкивается переводчик подобных работ, особенно в случае автора со столь ярким литературным талантом, как Г. Вейль).  Тогда же я прочёл и две ранние работы (1925 и 1932 года, [9–10]) Колмогорова, посвящённые интуиционистской логике. Содержание этих работ детально охарактеризовано в обзорной статье Успенского [1]. Трудно удержаться от изумления, думая о работе 1925 года. Написанная 22-летним студентом, работа эта отличается огромной зрелостью и намного лет опережает современный юному автору уровень науки. В работе ясно чувствуется творческий почерк колмогоровского таланта: постановка проблем, глубоко мотивированных философски, огромная мощь в разработке необходимого концептуального и технического аппарата, в преодолении конкретных математическиз трудностей. Достаточно сказать, что в этой студенческой публикации впервые предпринято математическое изучение интуиционистской логики, сформулированы аксиоматические системы для этой логики, предвосхищающие гораздо более позднюю аксиоматизацию интуиционистской математики, выполненную А. Гейтингом. Здесь же по существу (с точностью до технических деталей) впервые построено так называемое минимальное исчисление, переоткрытое в 1937 году Иохансоном (которому принадлежит и сам термин). Ещё более важной представляется мне изобретённая Колмогоровым идея погружения классической математики в интуиционистскую, в результате чего становится возможным доказательство непротиворечивости классической математики относительно интуиционистской. С этой целью предложена и первая из известных ныне погружаюших операций, основанная на глубоком проникновении в природу математического оперирования с отрицанием. Сама идея о том, что интуиционистская математика только по видимости уже классической могла быть высказана в то время только пророком. Только в 1933 году эти идеи были переоткрыты К. Гёделем. Вся описанная только что проблематика подсказана глубокими философскими проблемами, связанными с законом исключённого третьего. После критики Брауэра сомнительность этого логического принципа в применении к бесконечным совокупностям ощущалась рядом математических мыслителей, в частности Д. Гильбертом и Г. Вейлем.  Не чужды были эти сомнения и Колмогорову. Во всяком случае, 22-летний студент (в отличие от многих своих старших коллег) ясно ощущал вызов, заключённый в вопросе: почему сомнительность или даже незаконность неограниченного употребления принципа исключённого третьего так долго оставалась незамеченной и почему такое неограниченное употребление не приводит к противоречиям[xiv].

А.А. Марков и Б.А. Кушнер, Москва, 1979 год