В поисках бесконечности

У других треугольников избыток суммы углов был бы другой. Например, у треугольника ABD (рис. 2, б) углы B и D равны 90°, а угол BAD равен 180°. Сумма углов этого треугольника равна 360° — на 180° больше, чем нужно. В дальнейшем число α+β+γ — 180°, где α, β, γ — углы сферического треугольника, мы будем для краткости называть избытком сферического треугольника.

Поворот параллельных.

Но не только наличие избытка у треугольников показало жителям Ялмеза, что они живут не на плоскости, а на кривой поверхности. Неверной оказалась и теорема Пифагора. Например, у треугольника ABC угол А равен 90°, а все его стороны равны друг другу. Вообще, здесь трудно разобрать, где гипотенуза, а где катеты — все углы прямые.

К неожиданным результатам привело и изучение параллельных прямых на поверхности планеты. Ведь если провести на плоскости замкнутую линию, а потом перемещать вдоль нее отрезок так, чтобы он оставался все время параллелен самому себе, то отрезок вернется в исходную точку, не изменив направления (рис. 3, а). Измерения на малых участках поверхности планеты, казалось бы, подтверждали этот результат (параллельными ялмезяне считали прямые, перпендикулярные одной и той же прямой).

Рис. 3

Ио измерения больших участков поверхности привели совсем к иным результатам. Возьмем, например, треугольник ABC (рис. 3, б) и проведем в точке A "отрезок", перпендикулярный AB. Будем переносить этот отрезок вдоль контура треугольника ABC, следя за тем, чтобы он оставался все время параллельным самому себе. Когда мы придем в точку B, то получим отрезок, направленный по экватору. Так как экватор сам является "прямой", то после параллельного переноса в точку C отрезок снова будет направлен по экватору. А когда мы перенесем его еще по меридиану CA, то получим отрезок, повернутый на 90° относительно первоначального направления (то есть как раз на величину избытка треугольника ABC). А если бы мы переносили отрезок по контуру треугольника ABD на рис. 2, б, то он повернулся бы на 180°.

Вообще, при параллельном переносе по контуру любого сферического треугольника отрезок поворачивается на угол, равный избытку этого треугольника. Любопытный результат получается, если переносить отрезок вдоль экватора. На первый взгляд кажется, что он возвратится в исходную точку, не повернувшись. Но это неверно. Если все время сносить движущийся отрезок в одну и ту же точку — полюс сферы, то мы увидим, что он повернулся на 360° (рис. 4). Но это и неудивительно. Дополним экватор дугой меридиана АВ, пробегаемой в обоих направлениях. Мы получим "треугольник" ABA. В этом треугольнике два угла прямые, а третий равен 360°. Поэтому и его избыток равен 360°.

Рис. 4

Измерение кривизны.

Итак, измеряя сумму углов треугольника, наблюдая за поворотом параллельных при переносе по замкнутому контуру, проверяя теорему Пифагора, жители планеты убедились, что они живут не на плоскости, а на какой-то искривленной поверхности. За меру кривизны некоторого участка поверхности они приняли угол поворота отрезка, параллельно перенесенного вдоль границы этого участка. Эту кривизну можно было считать и по-другому: разбить участок на треугольники и сложить избытки всех треугольников. Ведь, если два треугольника объединяются в один, то их избытки складываются.

Оказалось, что чем больше площадь участка, тем сильнее он искривлен. Точнее говоря, избыток любого треугольника оказался пропорционален его площади:

α + β +γ — π = kS(1)

мы будем измерять углы не в градусах, а в радианах; при таком измерении сумма углов плоского треугольника равна π). Отсюда был сделан вывод, что кривизна поверхности на единицу площади всюду одна и та же. Число к и приняли за меру кривизны.

Но среди всех поверхностей есть только одна поверхность, для которой избыток треугольника на единицу площади всегда один и тот же — это сфера. Поэтому геометры Ялмеза установили, что они живут на сфере, а не на какой-нибудь другой поверхности. Без особого труда удалось даже найти радиус этой сферы. Ведь если число к не зависит от выбора треугольника, его достаточно подсчитать для одного треугольника. Возьмем, например, треугольник ABC на рис. 2, а. Его избыток равен 90°, или, в радианной мере, ^π/₂. Площадь же этого треугольника равна ¹/₈ площади сферы, то есть ^πR2/₂. Подставляя эти значения в формулу (1), получаем, что k = ¹/_R², а потому для любого сферического треугольника

α + β +γ — π =^S/_R²,

где α, β, γ — его углы, S — площадь и R — радиус сферы. Полученная формула позволяет определить радиус сферы путем измерения углов и площади треугольника. Разумеется, этот способ не очень удобен, так как требует весьма большой точности измерения углов. Для измерения радиуса Земли прибегли к иному способу — измерению длины дуги меридиана, что потребовало наблюдений за звездами.

Гауссова кривизна.