Вечность. В поисках окончательной теории времени

Когда справа находятся две молекулы, первой из них может быть любая из 2000, а второй – любая из оставшихся 1999. Таким образом, логично предположить, что существует 1999 × 2000 = 3 998 000 подобных комбинаций. Однако здесь кроется ошибка, так как две молекулы справа не должны там появиться в каком-то определенном порядке (заявление о том, что «справа находятся молекулы под номерами 723 и 1198» эквивалентно заявлению, что «справа находятся молекулы 1198 и 723»). Следовательно, первоначальный результат нужно поделить на два, и тогда мы получим правильный ответ: существует 1 999 000 способов перенести две молекулы в правую часть, оставив в левой 1998. Если мы перемещаем в правую половину три молекулы, то порядок вычислений следующий: 1998 × 1999 × 2000 необходимо разделить на 3 × 2 различных последовательностей. Вы уже видите закономерность: для четырех частиц произведение 1997 × 1998 × 1999 × 2000 следует разделить на 4 × 3 × 2 и т. д. У величин, которые мы получаем в результате, есть особое название: «биномиальный коэффициент». Они представляют собой число способов, которыми можно выбрать определенное количество объектов из более крупного набора.

Вернуться

129

Разумеется, здесь мы подразумеваем логарифм по основанию 10, так как в общем случае в качестве основания может использоваться любое число. «Логарифм по основанию 2» от 8 (то есть 23) равен 3; логарифм по основанию 2 от 2048 (то есть 211) равен 11. Захватывающие подробности вы найдете в приложении.

Вернуться

130

В числовом выражении k составляет около 3,2×10^–16 эрг на кельвин, где эрг – единица энергии, а кельвин, конечно же, – единица температуры (в большинстве справочников вам будет встречаться другое значение; причина в том, что мы используем логарифмы по основанию 10, а формулу чаще всего записывают с использованием натуральных логарифмов). Говоря «температура есть мера средней кинетической энергии движущихся в веществе молекул», в действительности мы имеем в виду, что «средняя энергия на степень свободы составляет половину произведения температуры на постоянную Больцмана».

Вернуться

131

Мы обозначили логарифм «lg», так как он десятичный. Для обозначения логарифма по другому основанию, например по основанию 2, в русскоязычной литературе применяется обозначение «log». – Примеч. пер.

Вернуться

132

Настоящая история физики куда запутаннее, чем базовые понятия, удивляющие своей красотой. Больцман додумался до идеи S = k lg W, но для ее описания он использовал совсем другие символы. В знакомую нам форму ее облек Макс Планк, также предложивший выгравировать уравнение на могильном камне Больцмана; кроме того, именно Планк впервые предложил использовать константу, которую мы сегодня зовем постоянной Больцмана. И чтобы окончательно все запутать, скажу, что уравнение на могильном камне представляет собой совсем не то, что обычно называют «уравнением Больцмана». Под этим понимается другое открытое Больцманом уравнение, описывающее эволюцию распределения большого числа частиц в пространстве состояний.

Вернуться

133

Для того чтобы данное определение имело реальный смысл, должно выполняться важное требование: мы должны уметь подсчитывать микросостояния разного типа и определять, сколько из них соответствуют тому или иному макросостоянию. Когда микросостояния формируют дискретный набор (как распределения частиц между двумя половинами одного контейнера), это звучит достаточно просто; намного сложнее справляться с непрерывными пространствами состояний (такими, как состояния реальных молекул с их положениями и импульсами или практически любых других объектов из реального мира). К счастью, в контексте двух важнейших описаний динамики – классической механики и квантовой механики – существует превосходно определенная «мера» пространства состояний, что позволяет нам вычислить величину W, по крайней мере, в принципе. В некоторых конкретных примерах наше понимание пространства состояний может размываться, и тогда следует соблюдать особую осторожность.

Вернуться

134

Feynman, R. P. The Character of Physical Law. Cambridge, MA: MIT Press, 1964.

Вернуться

135

Я знаю, о чем вы думаете: «Не знаю, как вы, но когда я вытираюсь, большая часть воды оказывается на полотенце; совсем не пятьдесят на пятьдесят». Это действительно так, но причина в том, что структура волокон хорошего пушистого полотенца предоставляет намного больше места для размещения молекул воды, чем ваша гладкая кожа. По той же самой причине высушить полотенцем волосы намного сложнее, чем кожу, а попытка вытереться листком бумаги далеко не столь эффективна, как применение полотенца.

Вернуться

136