Верховный алгоритм. Как машинное обучение изменит наш мир

Настоящие врачи не диагностируют грипп на основе высокой температуры, а учитывают целый комплекс симптомов, включая боль в горле, кашель, насморк, головную боль, озноб и так далее. Поэтому, когда нам действительно надо вычислить по теореме Байеса P(грипп | температура, кашель, больное горло, насморк, головная боль, озноб, …), мы знаем, что эта вероятность пропорциональна P(температура, кашель, больное горло, насморк, головная боль, озноб, … | грипп). Но здесь мы сталкиваемся с проблемой. Как оценить эту вероятность? Если каждый симптом — булева переменная (он либо есть, либо нет) и врач учитывает n симптомов, у пациента может быть 2ⁿ комбинаций симптомов. Если у нас, скажем, 20 симптомов и база данных из 10 тысяч пациентов, мы увидим лишь малую долю из примерно миллиона возможных комбинаций. Еще хуже то, что для точной оценки вероятности конкретного сочетания симптомов нужны как минимум десятки его наблюдений, а это значит, что база данных должна включать десятки миллионов пациентов. Добавьте еще десяток симптомов, и нам понадобится больше пациентов, чем людей на Земле. Если симптомов сто и мы каким-то чудом получим такие данные, не хватит места на всех жестких дисках в мире, чтобы сохранить все эти вероятности. А если в кабинет войдет пациент с не встречавшимся ранее сочетанием симптомов, будет непонятно, как поставить ему диагноз. То есть мы столкнемся с давним врагом: комбинаторным взрывом.

Поэтому мы поступим так, как всегда стоит поступать: пойдем на компромисс. Нужно сделать упрощающие допущения, которые срежут количество подлежащих оценке вероятностей до уровня, с которым под силу справиться. Одно из простых и очень популярных допущений заключается в том, что все следствия данной причины независимы. Это значит, например, что наличие высокой температуры не влияет на вероятность кашля, если уже известно, что у больного грипп. Математически это значит, что P(температура, кашель | грипп) — просто P(температура | грипп) × P(кашель | грипп). Получается, что и то и другое легко оценить на основании небольшого количества наблюдений. В предыдущем разделе мы уже сделали это для высокой температуры, и для кашля или любого другого симптома все будет так же. Необходимое количество наблюдений больше не растет экспоненциально с количеством симптомов. На самом деле оно вообще не растет.

Обратите внимание: речь идет о том, что высокая температура и кашель независимы не в принципе, а только при условии, что у больного грипп. Если неизвестно, есть грипп или нет, температура и кашель будут очень сильно коррелировать, поскольку вероятность кашля при высокой температуре намного выше. P(температура, кашель) не равно P(температура) × P(кашель). Смысл в том, что если уже известно, что у больного грипп, то информация о высокой температуре не даст никакой дополнительной информации о том, есть ли у него кашель. Аналогично, если вы видите, что звезды гаснут, но не знаете, должно ли взойти солнце, ваши ожидания, что небо прояснится, должны возрасти. Но если вы уже знаете, что восход неизбежен, гаснущие звезды не важны.

Следует отметить, что такой фокус можно проделать только благодаря теореме Байеса. Если бы мы хотели прямо оценить P(грипп | температура, кашель и так далее) без предварительного преобразования с помощью теоремы в P(температура, кашель и так далее | грипп), по-прежнему требовалось бы экспоненциальное число вероятностей, по одной для каждого сочетания «симптомы — грипп / не грипп».

Алгоритм машинного обучения, который применяет теорему Байеса и исходит из того, что следствия данной причины независимы, называется наивный байесовский классификатор. Дело в том, что такое допущение, прямо скажем, довольно наивное: в реальности температура увеличивает вероятность кашля, даже если уже известно, что у больного грипп, потому что она, например, повышает вероятность тяжелого гриппа. Однако машинное обучение — это искусство безнаказанно делать ложные допущения, а как заметил статистик Джордж Бокс, «все модели неверны, но некоторые полезны». Чрезмерно упрощенная модель, для оценки которой у вас есть достаточно данных, лучше, чем идеальная, для которой данных нет. Просто поразительно, насколько ошибочны и одновременно полезны бывают некоторые модели. Экономист Милтон Фридман в одном очень влиятельном эссе даже утверждал, что чрезмерно упрощенные теории — лучшие, при условии, что они дают точные предсказания: они объясняют больше с наименьшими усилиями. По-моему, это перебор, однако это хорошая иллюстрация того, что, вопреки Эйнштейну, наука часто развивается по принципу «упрощай до тех пор, пока это возможно, а потом упрости еще немного».