Верховный алгоритм

Проблема сложнее, чем может показаться на первый взгляд, потому что у байесовских сетей появляются «невидимые» стрелки, идущие вместе с видимыми. «Взлом» и «землетрясение» априорно независимы, но сработавшая сигнализация их связывает: она заставляет подозревать ограбление. Но если вы услышите по радио, что было землетрясение, то начнете предполагать, что оно и виновато. Землетрясение оправдывает срабатывание сигнализации и делает ограбление менее вероятным, а следовательно, между ними появляется зависимость. В байесовской сети все родители той же переменной таким образом оказываются взаимозависимы, что, в свою очередь, порождает еще больше зависимостей, и результирующий граф часто получается намного плотнее, чем исходный.

Критически важный вопрос для логического вывода: можно ли сделать заполненный график «похожим на дерево», чтобы ствол при этом был не слишком толстый. Если у мегапеременной в стволе слишком много возможных значений, дерево будет расти бесконтрольно, пока не заполонит всю планету, как баобабы в «Маленьком принце». В древе жизни каждый вид — это ветвь, но внутри каждой ветви есть граф, где у каждого создания имеются двое родителей, четыре внука, какое-то количество потомков и так далее. «Толщина» ветви — это размер популяции данного вида. Если ветви слишком толстые, единственный выбор — прибегнуть к приближенному выводу.

Одно из решений, приведенное Перлом в качестве упражнения в его книге о байесовских сетях, — делать вид, что в графе нет петель, и продолжать распространять вероятности туда-сюда, пока они не сойдутся. Такой алгоритм известен как циклическое распространение доверия. Вообще говоря, идея странная, но, как оказалось, во многих случаях она довольно хорошо работает. Например, это один из современных методов беспроводной связи, где случайные переменные — хитрым образом закодированные биты сообщения. Но циклическое распространение доверия может сходиться и к неправильным ответам или бесконечно изменяться (осциллировать). Еще одно решение проблемы возникло в физике, было импортировано в машинное обучение и значительно расширено Майклом Джорданом и другими учеными. Оно заключается в том, чтобы приблизить неразрешимое распределение с помощью разрешимого, оптимизировать параметры последнего и как можно ближе приблизить его к первому.

Но самый популярный вариант — утопить наши печали в вине и бродить всю ночь пьяным. По-научному это называется метод Монте-Карло в марковских цепях, или сокращенно MCMC. «Монте-Карло» потому, что в методе есть шансы, как в казино в одноименном городе, а марковские цепи упоминаются потому, что в этот метод входит последовательность шагов, каждый из которых зависит только от предыдущего. Идея MCMC заключается в том, чтобы совершать случайные прогулки, как упомянутый пьяница, перепрыгивая из одного состояния сети в другое таким образом, чтобы в долгосрочной перспективе число посещений каждого состояния было пропорционально вероятности этого состояния. Затем мы можем оценить вероятность взлома, скажем, как долю посещений состояния, в котором происходит ограбление. Удобная для анализа цепь Маркова сводится к стабильному распределению и через какое-то время начинает давать приблизительно те же ответы. Например, если вы тасуете колоду карт, через какое-то время все порядки карт станут одинаково вероятными, независимо от исходного порядка, поэтому вы будете знать, что при n возможных вариантов вероятность каждого из них будет равна 1⁄n. Весь фокус в MCMC заключается в том, чтобы разработать цепь Маркова, которая сходится к распределению нашей байесовской сети. Простой вариант — многократно циклически проходить через переменные, делая выборку каждой в соответствии с ее условной вероятностью, исходя из состояния соседей. Люди часто говорят об MCMC как о своего рода симуляции, но это не так: цепь Маркова не имитирует какой-то реальный процесс — скорее, она придумана для того, чтобы эффективно генерировать примеры из байесовской сети, которая сама по себе не является последовательной моделью.

Истоки MCMC восходят к Манхэттенскому проекту, в котором физики оценивали вероятность столкновения нейтронов с атомами, вызывающего цепную реакцию. В последующие десятилетия метод произвел такую революцию, что его часто называют одним из самых важных алгоритмов всех времен. MCMC хорош не только для вычисления вероятностей, но и для интегрирования любых функций. Без него ученые были бы ограничены функциями, которые можно интегрировать аналитически, или низкоразмерными, удобными для анализа интегралами, которые можно приблизить методом трапеций. MCMC позволяет свободно строить сложные модели, делая всю трудную работу за вас. Байесовцы, со своей стороны, обязаны MCMC растущей популярностью своих методов, вероятно, больше, чем чему-то другому.