Читаем Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни полностью

Я размышляю о законах подлости, стоя в аэропорту в очереди на регистрацию пассажиров и оформление багажа. Хвост длинный, люди разные и заметные со всеми своими сумками, детьми или клетками. Сзади слышу ворчание: «Как обычно, наша очередь тормозит. Вон, гляди, тот усатый в кепке наравне с нами стоял, а теперь вон где… Вот ведь закон подлости!» Этот закон зовется наблюдением Этторе:

Соседняя очередь всегда движется быстрее.

Что же это — психологический эффект или причуды математики?

Еще раз про пуассоновский процесс

Мы уже достаточно знаем о случайных процессах, чтобы немного проанализировать очередь, в которой стоим. За неимением других данных, разумно предположить, что выход из нее происходит по-пуассоновски: пассажиры подходят к стойке регистрации и проводят там какое-то время, не зависящее от времени обработки данных других пассажиров. Перемещение наблюдателя, стоящего в очереди, будет иметь вид монотонно изменяющейся ступенчатой линии, с одинаковыми шагами через случайные промежутки времени, подчиненные экспоненциальному распределению. Пара реализаций примеров пуассоновских процессов с одинаковой интенсивностью приведена на рис. 7.1. Обычно пуассоновский процесс накапливает события, и его изображение выглядит как «лесенка», растущая со временем. Но, стоя в очереди, мы заинтересованы в ее скорейшем уменьшении, так что шаги нашего процесса ведут вниз.


Рис. 7.1. Перемещения двух очередей как пуассоновских процессов с равной интенсивностью. То одна, то другая «вырывается вперед» на какое-то время


Разница двух одинаковых пуассоновских процессов — а именно ее наблюдает человек, скучающий в хвосте и исследующий соседнюю очередь, — представляет собой своеобразное случайное блуждание. В описанном нами случае величина отставания одной очереди от другой подчиняется распределению Скеллама. Для двух одинаковых очередей, пропускающих μ человек в единицу времени, вероятность отставания одной из них на k шагов равна:

P(k) = e-2μ I|k|(2μ),

где Ik(x) — встречавшаяся нам в предыдущей главе модифицированная функция Бесселя. Она возникла здесь не из-за круговой симметрии, а как результат сложения двух случайных величин, подчиняющихся распределению Пуассона.

Распределение Скеллама имеет симметричный колоколообразный вид (рис. 7.2), практически не отличимый от биномиального распределения. А раз так, мы уже готовы сделать некоторые качественные выводы, основываясь на опыте, полученном в предыдущей главе.


Рис. 7.2. Вероятность накопления разницы между двумя одинаковыми очередями со средней скоростью 5 шагов в минуту


Во-первых, расстояние между одновременно вставшими в одинаковые очереди людьми будет то увеличиваться, то уменьшаться, при этом станут образовываться характерные меандры с постоянно меняющейся длительностью. Во-вторых, из-за самоподобия случайного блуждания длительность меандров — как для коротких очередей, так и для длинных — окажется соизмеримой со временем стояния в очереди, и, значит, они будут заметны. А меандры — уже повод для недовольства. В-третьих, заранее неизвестно, какая очередь пройдет быстрее, ведь случайное блуждание равновероятно уходит как вверх, так и вниз. И наконец, четвертое заключение: очереди движутся независимо, то и дело опережая и нагоняя друг друга, но в среднем одинаково, и ожидаемая разница между ними стремится к нулю, однако разброс вокруг среднего со временем растет пропорционально квадратному корню из времени.

Выходит, нет никаких подлых штучек злодейки-судьбы, а есть только честное случайное блуждание. Правда, если нам не повезло и мы оказались во временно отстающей очереди, то мы в ней проведем больше времени и, согласно закону велосипедиста, у нас будет больше возможностей посетовать на судьбу! А теперь, внимание, хорошие новости: в любой выбранный интервал времени тех, кому повезет попасть в быструю очередь, будет больше, чем невезунчиков, ведь быстрая очередь может пропустить больше людей! Но, увы, это ничуть не утешит того, кто надолго застрял в хвосте.

Теория для заскучавших в коридоре

Перейти на страницу:

Все книги серии Библиотека фонда «Эволюция»

Происхождение жизни. От туманности до клетки
Происхождение жизни. От туманности до клетки

Поражаясь красоте и многообразию окружающего мира, люди на протяжении веков гадали: как он появился? Каким образом сформировались планеты, на одной из которых зародилась жизнь? Почему земная жизнь основана на углероде и использует четыре типа звеньев в ДНК? Где во Вселенной стоит искать другие формы жизни, и чем они могут отличаться от нас? В этой книге собраны самые свежие ответы науки на эти вопросы. И хотя на переднем крае науки не всегда есть простые пути, автор честно постарался сделать все возможное, чтобы книга была понятна читателям, далеким от биологии. Он логично и четко формулирует свои идеи и с увлечением рассказывает о том, каким образом из космической пыли и метеоритов через горячие источники у подножия вулканов возникла живая клетка, чтобы заселить и преобразить всю планету.

Михаил Александрович Никитин

Научная литература
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием

"Ни кошелька, ни жизни" Саймона Сингха и Эдзарда Эрнста – правдивый, непредвзятый и увлекательный рассказ о нетрадиционной медицине. Основная часть книги посвящена четырем самым популярным ее направлениям – акупунктуре, гомеопатии, хиропрактике и траволечению, а в приложении кратко обсуждаются еще свыше тридцати. Авторы с самого начала разъясняют, что представляет собой научный подход и как с его помощью определяют истину, а затем, опираясь на результаты многочисленных научных исследований, страница за страницей приподнимают завесу тайны, скрывающую неутешительную правду о нетрадиционной медицине. Они разбираются, какие из ее методов действенны и безвредны, а какие бесполезны и опасны. Анализируя, почему во всем мире так широко распространены методы лечения, не доказавшие своей эффективности, они отвечают не только на вездесущий вопрос "Кто виноват?", но и на важнейший вопрос "Что делать?".

Саймон Сингх , Эрдзард Эрнст

Домоводство / Научпоп / Документальное
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать

На протяжении всей своей истории человек учился понимать других живых существ. А коль скоро они не могут поведать о себе на доступном нам языке, остается один ориентир – их поведение. Книга научного журналиста Бориса Жукова – своего рода карта дорог, которыми человечество пыталось прийти к пониманию этого феномена. Следуя исторической канве, автор рассматривает различные теоретические подходы к изучению поведения, сложные взаимоотношения разных научных направлений между собой и со смежными дисциплинами (физиологией, психологией, теорией эволюции и т. д.), связь представлений о поведении с общенаучными и общемировоззренческими установками той или иной эпохи.Развитие науки представлено не как простое накопление знаний, но как «драма идей», сложный и часто парадоксальный процесс, где конечные выводы порой противоречат исходным постулатам, а замечательные открытия становятся почвой для новых заблуждений.

Борис Борисович Жуков

Зоология / Научная литература

Похожие книги