Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Даже с идеальным кассиром время стояния в очереди в кассу определяется бестолковыми покупателями.

Важная характеристика очереди — время занятости оператора, или длительность непрерывных периодов времени, в которые он обслуживает клиентов. Обозначим это время B. Периоды занятости перемежаются периодами простоя, когда по какой-то причине клиентов в очереди не оказывается. Клиенты приходят, ждут и уходят, а оператор остается работать, поэтому разумно предположить, что B>W. В действительности ожидаемое, среднее время занятости для M/M/1-очередей равно среднему времени ожидания, то есть B=W. Уже не вполне интуитивно понятный результат, но и это еще не всё: при той же интенсивности труда среднее время обслуживания клиента может стать существенно больше среднего времени работы оператора! Вот это уже кажется парадоксом. Получается, оператор в среднем умудряется работать меньше, чем в среднем обслуживается клиент!

Как мы уже говорили, средние значения надо использовать осторожно. Объяснить этот парадокс и понять, что происходит в очереди, можно, привлекая дисперсию распределения времени обслуживания одного клиента p_out(t). Еще в 1930-е австрийскому математику Феликсу Поллачеку удалось в общем виде вычислить отношение W/B для произвольной M/G/1-очереди:

Здесь σ — дисперсия распределения p_out(t). В случае M/M/1-очереди σ = 1/μ, и это отношение равно 1. Но может случиться, что при том же значении среднего распределение p_out(t) будет иметь большую дисперсию, и тогда W окажется больше B. На рисунке 7.5 показан пример, в котором p_in(t) распределено экспоненциально с λ = 30 чел./ч, а p_out(t) описывается гамма-распределением, соответствующим интенсивности μ = 34 чел./ч с дисперсией σ = 2/μ.

Рис. 7.5. Распределения для периодов между появлением новых клиентов (сплошная линия — экспоненциальное распределение) и времени обслуживания одного клиента (пунктирная линия — гамма-распределение)

Очередь остается стабильной, поскольку λ < μ и клиенты в среднем обслуживаются быстрее, чем приходят новые. Оператор работает хорошо: большинство клиентов обслуживаются очень быстро; но обратите внимание на долю «трудных» клиентов, которые формируют достаточно толстый хвост распределения. Их мало, но каждый отнимает много времени, и все в очереди вынуждены их ждать. Для примера, приведенного на рисунке, среднее время ожидания оказалось равно 35 минутам, хотя среднее время занятости оператора прежнее (15 минут). Получается, что, не переставая работать, оператор в среднем филонит, пока мы страдаем в очереди от безделья!

Динамика такой очереди отличается от динамики M/M/1. Для нее характерен несимметричный пилообразный рисунок с плавной восходящей линией и резким сбросом. Пока оператор занят «трудным» клиентом, постепенно вырастает длинный хвост, а потом, освободившись, оператор очень быстро с ним справляется (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Динамика M/G/1-очереди, где время ожидания клиентов вдвое превосходит время занятости оператора. Горизонтальные темные полосы показывают периоды долгого ожидания очередного «трудного» клиента

Совсем немного о случайных функциях

Здесь мы ненадолго остановимся и обсудим, что же все-таки такое случайный процесс.

Все очереди движутся по-разному. Ступеньки пуассоновского процесса не повторяют друг друга, и мы располагаем только какими-то статистическими свойствами случайных процессов. Но это уже явно не просто случайное число, а кое-что посложнее. С чем же мы имеем дело? Случайный процесс порождает некую последовательность. Его повторение приведет к новой последовательности, скорее всего с другим числом точек. А можно ли обобщить все эти случайные последовательности? Главным свойством случайных величин мы считаем их непостоянство: от раза к разу, от эксперимента к эксперименту каждая из них меняет свое значение, оставаясь при этом одним объектом. Мы смогли однозначно характеризовать его распределением случайной величины — функцией, сопоставляющей каждое значение случайной величины (или диапазон значений) и его вероятность.

Говоря о стохастических последовательностях, мы имеем дело уже не со случайной величиной, а со случайной функцией. Например, для пуассоновского процесса это функция от времени, возвращающая случайную величину — число отсчетов, наблюдаемых за указанное время. Можно ли такую случайную функцию характеризовать так же однозначно и точно, как случайная величина определяется своим распределением?

Построим на одном графике большое число пуассоновских «лесенок» одинаковой интенсивности, а потом для каждого момента времени создадим срез всех этих данных и усредним их, получив одну точку. Вот что мы увидим (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Черная сплошная линия — результат усреднения множества реализаций пуассоновского процесса с интенсивностью 1/4