Читаем Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни полностью

Глядя на динамику FILO-очереди, легко понять, что время ожидания клиента должно быть близким к времени занятости оператора. Действительно, время занятости определяется как период от момента прихода первого клиента до момента выхода последнего, но в стеке первый клиент и оказывается последним. Нужно еще учесть, что очередной клиент не прерывает оператора, поэтому ко времени его ожидания добавится время обслуживания клиента, с которым уже работает сотрудник. Если оно распределено экспоненциально, то, как уже обсуждалось в связи со временем ожидания автобуса, добавочное время будет распределено точно так же. В итоге время ожидания окажется распределено как сумма времени занятости оператора и периода работы с одним клиентом. На рисунке 7.12 показаны распределения времени ожидания для M/M/1-очередей: обыкновенной, с политикой FIFO, придерживающейся правила FILO. В обоих случаях λ = 30 и μ = 34 человека в час.


Рис. 7.12. Распределения времени ожидания для M/M/1-очередей с различной политикой


Распределения сильно различаются, но средние значения у них практически одинаковые. Хотя распределение времени ожидания для FILO-очереди кажется сконцентрированным около моды (близкой к 1/μ, времени работы с одним клиентом), у него длинный тяжелый хвост, который сильно увеличивает дисперсию и повышает среднее значение. Медиана этого распределения равна 3 минутам. Это значит, что в половине случаев клиент будет ждать немного, но если уж застрянет, так застрянет: 5 % клиентов потратят больше часа, а самые невезучие 2 % вместо 2 минут вынуждены будут ждать своей очереди больше 2 часов! Для FIFO-очереди с такими же параметрами вероятность застрять на 2 часа составляет не более 0,04 %.

При этом оператор, то есть бюрократ, обрабатывающий бумаги, не заметит разницы между очередью и стеком: распределение его времени занятости не изменится. Руководитель бюрократа тоже увидит, что из кабинета подчиненного бумаги выходят с нормальной интенсивностью в силу устойчивости очереди. И большинство документов даже окажутся обработаны очень оперативно. Но то и дело какая-то их часть внезапно «проваливается» на дно стопки и задерживается там очень надолго. Такие дела приходится «двигать вручную» тем, кто в них заинтересован.

Подобная картина наблюдается и в шкафу, куда мы складываем вещи с мыслью разобрать потом. Но мы задвигаем то, что уже лежит там, поглубже и добавляем новые вещи. Так что даже если мы и станем их постепенно разбирать, до «ископаемых» у самой стенки руки дойдут очень и очень нескоро.

Для демонстрации несправедливости распределения времени между различными делами в ведомстве бюрократа (или вещами в шкафу) изобразим кривые Лоренца для FIFO- и FILO-очередей, описываемых формулой M/M/1. Если для всех FIFO-очередей кривая Лоренца одинакова, несправедливость FILO-очередей зависит от соотношения λ и μ. Чем ближе их отношение к единице, тем ближе к ней и индекс Джини. На рисунке 7.13 показаны кривые Лоренца для этих двух типов очередей с теми же параметрами, что и для предыдущего рисунка.


Рис. 7.13. Кривые Лоренца для времени ожидания в двух типах очередей. Коэффициент Джини для FIFO-очереди равен 0,5, а для FILO-очереди — 0,78


Закон сохранения клиентов, или равенство входного и выходного потоков, может сыграть еще одну злую шутку. Представьте себе контору, через которую проходит за рабочий день, скажем, 15 человек; при этом на каждого клиента в среднем уходит полчаса. В конторе два клерка, один трудится с интенсивностью 16 человек в день, а второй — 14. Вместе они могли бы обслужить человек тридцать, но, кажется, столько и не нужно. Люди в такой конторе почти не ждут своей очереди, среднее время ожидания составляет 18 минут, средняя длина очереди всего 1,2 человека[30]. Очень часто бывает так, что, пока с клиентом работает кто-то из клерков, второй в это время отдыхает. На рисунке 7.14 показан пример динамики очереди в конторе. При этом надо иметь в виду, что этот незначительный поток распределен между двумя операторами: каждый из них наблюдает поток, еще в два раза менее интенсивный. Про такую работу говорят: «не бей лежачего».


Рис. 7.14. Две недели в конторе с двумя клерками


Руководство, проведя все эти замеры и наблюдения, решает, что клерки живут уж больно вольготно, трудясь только половину рабочего времени, и в стремлении оптимизировать работу учреждения увольняет нерасторопного клерка. И вот все стало совсем иначе! Система приблизилась к опасному состоянию, когда μ≈λ. При таких условиях очередь становится метастабильной: она может какое-то время вести себя «хорошо», а потом внезапно наступит коллапс (рис. 7.15).


Рис. 7.15. В течение недели один клерк вполне справлялся с объемом работ, но потом все превратилось в кошмар


Перейти на страницу:

Все книги серии Библиотека фонда «Эволюция»

Происхождение жизни. От туманности до клетки
Происхождение жизни. От туманности до клетки

Поражаясь красоте и многообразию окружающего мира, люди на протяжении веков гадали: как он появился? Каким образом сформировались планеты, на одной из которых зародилась жизнь? Почему земная жизнь основана на углероде и использует четыре типа звеньев в ДНК? Где во Вселенной стоит искать другие формы жизни, и чем они могут отличаться от нас? В этой книге собраны самые свежие ответы науки на эти вопросы. И хотя на переднем крае науки не всегда есть простые пути, автор честно постарался сделать все возможное, чтобы книга была понятна читателям, далеким от биологии. Он логично и четко формулирует свои идеи и с увлечением рассказывает о том, каким образом из космической пыли и метеоритов через горячие источники у подножия вулканов возникла живая клетка, чтобы заселить и преобразить всю планету.

Михаил Александрович Никитин

Научная литература
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием

"Ни кошелька, ни жизни" Саймона Сингха и Эдзарда Эрнста – правдивый, непредвзятый и увлекательный рассказ о нетрадиционной медицине. Основная часть книги посвящена четырем самым популярным ее направлениям – акупунктуре, гомеопатии, хиропрактике и траволечению, а в приложении кратко обсуждаются еще свыше тридцати. Авторы с самого начала разъясняют, что представляет собой научный подход и как с его помощью определяют истину, а затем, опираясь на результаты многочисленных научных исследований, страница за страницей приподнимают завесу тайны, скрывающую неутешительную правду о нетрадиционной медицине. Они разбираются, какие из ее методов действенны и безвредны, а какие бесполезны и опасны. Анализируя, почему во всем мире так широко распространены методы лечения, не доказавшие своей эффективности, они отвечают не только на вездесущий вопрос "Кто виноват?", но и на важнейший вопрос "Что делать?".

Саймон Сингх , Эрдзард Эрнст

Домоводство / Научпоп / Документальное
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать

На протяжении всей своей истории человек учился понимать других живых существ. А коль скоро они не могут поведать о себе на доступном нам языке, остается один ориентир – их поведение. Книга научного журналиста Бориса Жукова – своего рода карта дорог, которыми человечество пыталось прийти к пониманию этого феномена. Следуя исторической канве, автор рассматривает различные теоретические подходы к изучению поведения, сложные взаимоотношения разных научных направлений между собой и со смежными дисциплинами (физиологией, психологией, теорией эволюции и т. д.), связь представлений о поведении с общенаучными и общемировоззренческими установками той или иной эпохи.Развитие науки представлено не как простое накопление знаний, но как «драма идей», сложный и часто парадоксальный процесс, где конечные выводы порой противоречат исходным постулатам, а замечательные открытия становятся почвой для новых заблуждений.

Борис Борисович Жуков

Зоология / Научная литература

Похожие книги