Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

При λ = 15 и μ = 16 средняя длина очереди будет как раз равна 15 клиентам, а среднее время занятости оператора составит 1 день. Руководство может быть довольно своей оптимизацией. Но мы-то знаем, что средние показатели не показывают толком почти ничего. Посмотрите, с какой вероятностью время занятости клерка превысит указанное количество дней (рис. 7.16).

Рис. 7.16. Вероятность для одного клерка не уложиться с текущими делами в указанный период времени

Что еще хуже, среднее время ожидания одного клиента вырастает тоже до одного дня! Вместо 18 минут он застрянет со своим делом на час с вероятностью 88 %, вероятность проторчать в конторе полдня составит 60 %, а ухлопать на это весь день — 37 %. Таким образом, вроде бы разумное решение может иметь неожиданно неприятные последствия.

Лучшее — враг хорошего

Наконец, говоря об очередях и неприятностях, с ними связанных, нельзя не упомянуть о совершенно возмутительном парадоксе Браеса. Этот эффект приводит к тому, что в коммуникационной сети, содержащей очереди, добавление новых простых связей, даже не стохастических, может привести к уменьшению пропускной способности всей сети.

Простейшей моделью, в которой наблюдается этот эффект, может быть дорожная сеть, где два населенных пункта A и B соединены двумя дорогами так, как показано на рис. 7.17. При этом выделяются четыре участка дорог, два из которых, AC и DB, — достаточно широки и свободны, так что среднее время пути по ним занимает известное постоянное время t₀. Два других плеча — AD и CB — короче, но имеют склонность к образованию заторов. Дорожный поток и пробка во многом похожи на очередь, и для них тоже работает теорема Литтла, позволяющая связать время пути по загруженному (или узкому) участку с числом машин на дороге. Таким образом, для загруженных участков время пути можно считать пропорциональным числу участников дорожного движения: t=λN. И последнее важное условие: пассажиропоток между городами таков, что t₀>λN/2.

Рис. 7.17. Модель дорожной сети

Тут мы впервые вынуждены сделать предположение, которое выходит за рамки темы книги. Оно касается того, как люди принимают решения. Это тоже можно описывать математически с помощью методов теории игр — области знания, которая получила широкое развитие в последние десятилетия. Здесь я не хочу вдаваться в подробности самой теории, а сразу воспользуюсь одним из ее результатов — понятием равновесия Нэша. Поведение людей во многих случаях можно считать оптимизирующим: они пытаются уменьшить потери и увеличить свои преимущества. Но во взаимодействии с такими же оптимизирующими группа игроков может нащупать некое равновесное состояние — не лучшее, но хотя бы удовлетворительное. Применительно к нашим дорогам приход к равновесию Нэша выразится в том, что водители будут стремиться распределиться по обоим плечам дорог ACB и ADB поровну. Так что если обычно из города A в город B ездит N автомобилистов, время в пути можно выразить как λN/2 + t₀.

Теперь, стремясь оптимизировать движение в этой сети, мы построим связку CD, причем постараемся сделать ее как можно шире и лучше, чтобы время на ее преодоление было существенно меньше, чем t₀ или λN/2 (рис. 7.18). Воспользовавшись ею, автомобилист сможет попасть из пункта A в пункт B за время порядка 2t₀ (двигаясь по пути ACDB) либо 2×λN/2 = λN (в случае пути ADCB). Но, правда, только при условии, что он окажется на дороге один. Проблема в том, что, как только люди прознают о новой дороге, естественно, какая-то часть водителей постарается пользоваться только ею. И вот к чему это приведет. В равновесии Нэша часть публики αN предпочтет путь ADCB — как более короткий, так что мы должны получить следующие характерные времена: ACB, ADB — λαN + t₀, ADCB — 2λαN, ACDB — 2t₀. Подвох в том, что все эти времена превышают прежний средний результат λN/2 + t₀ для любого α > 1/2.

Рис. 7.18. Модель дорог с дополнительной связкой

Рассмотрим конкретный пример. Пусть t₀ = 30 мин., λ = 1/100 мин./чел., α = 2/3, N = 5000. Это означает, что из пункта A выехало 5000 человек. В отсутствие связки CD среднее время пути от A до B составит 55 минут. Наличие короткого пути приведет к таким вариантам среднего времени: ACB, ADB — 63 минуты, ADCB — 67 минут, ACDB — 60 минут. Иначе говоря, ни по одному из этих путей не удастся добраться из города A в город B быстрее, чем до строительства новой скоростной дороги. Если водители каким-то усилием воли распределятся по обеим дорогам поровну, то все вернется к первоначальному состоянию. Но тогда, выходит, не было смысла строить новую связку CD!