Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Парадокс Браеса долгое время казался мне не очень интуитивным и ярким: слишком многое нужно принять во внимание, чтобы понять, что же в нем парадоксального. Мое мнение о нем изменилось, когда я увидел физическую модель этого явления… на пружинках. Удлинение пружины пропорционально приложенной к ней силе; это мы изучали в школе, называя законом Гука. Увеличение времени пути пропорционально загруженности трассы; об этом нам говорит теорема Литтла. Можно рассмотреть две схемы соединения пружин, которые будут эквивалентны двум схемам соединения дорогами населенных пунктов, как показано на рис. 7.19. Физическая модель делает разницу между этими двумя схемами очевидной. В первом случае мы имеем параллельное соединение участков с линейной зависимостью (пружин или затрудненных участков дороги), а во втором — последовательное. Для двух одинаковых пружин жесткостью k эффективная жесткость первой (параллельной) схемы будет равна 2k, а для второй (последовательной) — k/2. Таким образом, при одной и той же нагрузке растяжение второй системы больше, чем первой, — при условии, что длина нерастяжимых нитей окажется не меньше длины растянутых пружин. Это условие в точности соответствует требованию t₀ > λN/2.

Рис. 7.19. Модель парадокса Браеса на пружинах

Этот парадокс оставался бы на страницах учебников по теории игр, если бы не проявлялся в реальной жизни, и не только в дорожном строительстве. Такое парадоксальное уменьшение пропускной способности сети при добавлении новых соединений встретилось и в механике, и в электрических сетях[31], и в полупроводниковых структурах на микроуровне[32]. А исследования случайных графов, которые важны для анализа социальных сетей и сети интернет, показали, что эффект Браеса почти наверняка проявляется в них начиная с определенного уровня сложности[33]. Применив аналогию с пружинами, нетрудно представить себе сложную сеть, в которой есть как упругие, так и нерастяжимые связи. При перерезании каких-то коротких нитей часть упругих связей начнет работать параллельно, распределив между собой нагрузку, и вся сеть станет более жесткой, менее зависимой от нагрузки.

* * *

В этой главе мы разбирались с не самыми приятными сторонами нашей жизни — очередями и бюрократией. И хотя они часто вызывают у нас раздражение, всё же эти явления призваны помогать в организации по-настоящему сложных процессов, они поддаются исчислению и избавляют нас от гораздо более неприятного и даже опасного неуправляемого хаоса.

Глава 8. Проклятие режиссера и проклятые принтеры

Настоящее — самое подходящее время что-то отложить.

Четвертый закон Хечта

Любое стоящее дело стоило сделать вчера.

Дилемма Гроссмана

Наше время принято считать нелегким, чересчур суетливым и полным стрессов. Так все и заявляют: «В наше нелегкое время…». Уверен, что так говорили, говорят и будут говорить всегда. И основной претензией к любому времени постоянно будет то, что его катастрофически не хватает! Мчатся поезда и самолеты, компьютеры подыскивают и доставляют нам прямо в постель мегабайты информации, всё, что нам нужно, — от светских новостей до рабочих сводок. Поисковые системы мгновенно отвечают как на самые глубокие, так и на самые дурацкие вопросы, и нам все еще не хватает времени. В основном на себя: на прогулку ради прогулки, на то, чтобы послушать музыку — не на бегу в наушниках, не в машине, а дома в кресле с единственной целью: послушать музыку! Некогда! Но уверен я также и в том, что это вовсе не болезнь века, в отличие, например, от гиподинамии, которая, несмотря на суетливость, беготню и стресс, преследует современного человека. Эта наша спешка и связанная с ней нервотрепка математически обусловлены и потому вечны, как ворчание стариков на «нынешнее бестолковое поколение».

В этой главе мы поговорим о том, почему нам не хватает времени на задуманное. Почему жизнь так коротка. Почему даже у добросовестного студента к концу учебного года остается лишь одна ночь на выполнение доброй половины всех заданий и почему, в конце концов, именно в эту ночь сломается принтер или его девушка задумает выяснить отношения.

Стратегия балбеса

Для анализа суеты нам опять потребуются случайные процессы. Один из самых простых из них, требующих минимума дополнительных предположений, — пуассоновский поток. Напомню, что его можно реализовать, случайно распределяя известное количество независимых событий по ограниченному временному интервалу. Хорошими примерами могут быть удары капель дождя по крыше, поток частных автомобилей на дороге, сильные землетрясения и т. п.