Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Повторюсь, что я не взаправдашний математик, а физик и вулканолог, использующий математику как инструмент. Но я этот свой инструмент очень люблю. Он красивый, изящный и мощный. Владение им делает меня счастливым и даже немного гордым от причастности к великим людям, создававшим его на протяжении столетий. Но при всем при том математика — инструмент, требующий особого к себе отношения. Она подобна породистой лошади или дорогому автомобилю, а то и легкомоторному самолету. Без умения, особого подхода и, если хотите, уважения к себе они испортятся и гордость от владения ими сменится горечью утраты. Конечно, я утрирую, но что-то в этом есть. Я имею в виду, что с математикой можно играть, а не только использовать в серьезной работе. Но в обоих случаях нужно как можно дольше оставаться настоящим математиком и ценить драгоценную точность и полноту результатов.

Я в принципе мог бы и остановиться, получив экспериментальную гистограмму, отражающую распределение числа последовательных дел, которые можно завершить в ограниченный срок. Это же скорее развлекательная книга, а не учебник и не научная статья. Но, поверьте, я просто не смог этого сделать: отсутствие точного решения не давало мне покоя. Я готов был вообще выбросить этот эпизод из книги — и не потому, что не верил в точность результата, а потому что не считал это каким-то результатом. Я исписал множество листов, пытаясь вывести точную формулу, но ничего не выходило! Повторю, я не настоящий математик, у которого есть последовательное базовое математическое образование. Мне недоставало не инструментария или методик — я легко отыскивал их в учебниках и статьях. Но они заводили меня в дебри и тупики. Мне не хватало интуиции математика — той самой штуки, которая либо возникает от многих лет непрестанной работы, постоянного поиска внутренних связей и закономерностей, либо дается от рождения, примерами чего могут быть такие потрясающие люди, как Сриниваса Рамануджан Айенгор или Карл Фридрих Гаусс. Но большинство великих, замечательных и просто видных математиков были вооружены не врожденным талантом, а любовью к этой науке, предельной честностью перед собой и, главное, невероятным трудолюбием, благодаря которым их математическая интуиция превращалась в самую настоящую магию! И я убежден, что она доступна всем, но требует непрестанных упражнений: как говорили в моем родном Новосибирском государственном университете, «приседания мозгами». А силу для этих упражнений может дать только любовь. Ни чувство долга, ни страх провалить сессию, ни осознание полезности математики как инструмента не станут достаточной мотивацией для такой удивительно кропотливой, незаметной и чаще всего непрактичной работы.

Задачка о проклятии режиссера вряд ли спасет чьи-то жизни или принесет мне славу и много денег, но без точного результата я чувствовал себя не вправе говорить о ней, поэтому я вновь и вновь выписывал столбцы известных мне точных значений функции вероятности (для k = 1, 2 и n), дополняя эмпирическими цифрами, приведенными к рациональному виду (мне быстро стало ясно, что нормировкой искомой функции будет n!), пытаясь то угадать закономерность, то получить ее, подходя так или эдак. В конце концов решение пришло ко мне так же, как решения больших и чудовищно сложных задач приходят к настоящим математикам. Итогом моего пристального всматривания и вживания в ряды чисел стала искра интуиции. Блуждая уже практически бесцельно по страницам справочника комбинаторики, я наткнулся на числа Стирлинга, о существовании которых до этого и не подозревал. Они происходят из совсем другой задачи и поначалу вызвали просто любопытство. Хорошо, что в справочнике приводились некоторые примеры рядов этих чисел. Мой взгляд выхватил знакомые цифры, и после недолгих проверок мне уже было ясно: мое распределение выражается через числа Стирлинга настолько просто и лаконично, что это стало настоящей наградой! Решение нашлось и, более того, оказалось удивительно простым и красивым! Но, конечно, и этого было мало. Совпадения чисел недостаточно для утверждения о том, что решение найдено. Однако, зная, что искать, я уже без труда смог строго свести рекуррентное соотношение для моего распределения к соотношению, определяющему числа Стирлинга, после чего задачу можно было счесть решенной.

Мне очевидно, что это достаточно скромный результат, а специалисту по комбинаторике он, скорее всего, покажется простым упражнением. Но я могу им гордиться. После долгих упорных усилий и из моей волшебной палочки вылетели наконец искры и перышко взлетело на пару сантиметров над столом! Это значит, что я действительно делал все верно и когда искал решение, и, главное, когда не допускал возможности публиковать простую эмпирику, претендуя на объяснение пусть даже шуточного эффекта. Я пишу эти строки не для того, чтобы похвастаться, а чтобы вдохновить тех, кто чувствует в себе настоящую любовь к математике, на долгий, кропотливый, но счастливый труд.