Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Мне очень понравился такой пример: при использовании знаменитого метода Евклида для доказательства бесконечности ряда простых чисел последние получаются не всегда. Здесь речь о том, что, предположив конечность ряда простых чисел, мы можем вычислить произведение всех членов этого ряда, увеличить его на единицу и получить число, превышающее все имеющиеся, но не делящееся ни на одно из них. Можно подумать, что произведение нескольких первых простых чисел, увеличенное на единицу, всегда порождает простое число, и убедиться в этом на нескольких примерах.

2 + 1 = 3

(2 × 3) + 1 = 7

(2 × 3 × 5) + 1 = 31

(2 × 3 × 5 × 7) + 1 = 211

(2 × 3 × 5 × 7 × 11) + 1 = 2311

(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 59 × 509.

Последний, да и последующие примеры дают осечку! Получается, доказательство Евклида неверно? Нет, оно совершенно справедливо, поскольку ничего не говорит о простоте результата, но утверждает существование числа, не делящегося ни на одно из полного (по нашему предположению) множества простых чисел. Число 30 031 и вправду не делится ни на одно из перемножаемых чисел. Позже, в 1990 году, тот же Ричард Ги выпустил в свет еще одну статью «Второй сильный закон малых чисел»[38], в которой приводит еще полсотни примеров последовательностей, ломающих интуицию математика!

Воспетая мной математическая интуиция без строгого доказательства может сыграть злую шутку. Более того, и в строгое, но очень сложное доказательство может вкрасться незаметная коварная ошибка, чему есть множество примеров. Обязательно прочтите чудесную книгу «Великая теорема Ферма» Саймона Сингха, чтобы почувствовать, с какими поистине циклопическими законами подлости приходится иметь дело в большой математике. Но удивительное дело: именно эти примеры и рассказы вдохновляют меня на добросовестный поиск математической истины там, где вполне хватило бы наблюдения или приблизительного результата.

Быстрее, еще быстрее!

Давайте теперь исследуем само явление цейтнота и его выматывающие свойства. Для этого обратимся к методу Монте-Карло и построим несколько тысяч стохастических цепочек, после чего усредним их, получив некую гладкую функцию. Она показана сплошной линией на рис. 8.5 и представляет собой математическое ожидание случайной функции, описывающей наш нестационарный стохастический процесс. Назовем эту случайную функцию темпом выполнения работы.

Рис. 8.5. Множество стохастических цепочек с дедлайном и ожидаемый темп выполнения работы

В предыдущей главе мы говорили о таких функциях, рассматривая очень простой случай стационарных процессов с неизменной интенсивностью. Сейчас же мы видим иную картину. Наша функция имеет переменную дисперсию, уменьшающуюся ближе к дедлайну. Это говорит о том, что последовательности, порождаемые случайной функцией, при приближении к правому краю сливаются и становятся неотличимы друг от друга.

Обратите внимание на то, что оси графика приведены к общему числу дел и всему отпущенному времени. Это, с одной стороны, позволяет нам сравнивать как разные сроки, так и различные по длине цепочки, а с другой — мы опять получили что-то подобное кривой Лоренца: некое формализованное отражение несправедливости.

Наблюдаемый темп, увы, очень неравномерен: в первую половину срока будет сделано едва ли 10 % работы, а добрую половину всех дел придется выполнять, имея в распоряжении менее 10 % времени. Но главная особенность: темп, вернее его наклон, стремительно увеличивается при приближении к дедлайну! Мы получили модель предновогоднего ража или паники в преддверии годового отчета, а также нащупали закон подлости, знакомый всякому, кому приходилось организовывать концерт, костюмированный вечер или иное мероприятие:

Сколько бы времени ни было отпущено на подготовку мероприятия, бо́льшая часть дел останется на последнюю ночь!

Прекрасные живые примеры таких процессов описаны, например, в рассказах Карела Чапека «Как делают газету» и «Как ставится пьеса». Неужели причина этого проклятия кроется только в нашей неорганизованности и безалаберности? Это, конечно, основные причины, но мы не настолько в них виноваты, чтобы нельзя было попробовать оправдаться каким-нибудь математическим законом. Стратегия балбеса, конечно, выглядит глупо, но взрывной рост темпа — это не шутки! Можно ли вообще с ним справиться?

Имея в распоряжении функцию вероятности для распределения Стирлинга, ожидаемый темп выполнения работы можно вычислить точно. Формула не слишком изящна, однако примечательно, что в нее входит число дней n и не входит число запланированных дел: