Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Впрочем, существует еще один широко известный способ внести дисциплину в выполнение работ: вместо одного дедлайна сделать много. Разобьем срок выполнения работы на две равные части и будем придерживаться этого нового дедлайна, считая его, скажем, промежуточным отчетом. Для каждой из этих частей мы можем построить кривую ожидаемого темпа выполнения работ, как показано на рис. 8.9.

Рис. 8.9. Разбиение времени выполнения на несколько промежуточных отчетных периодов позволяет сделать работу более равномерно, но добавляет стресс при приближении каждого нового отчета

Несмотря на нервотрепку с промежуточным отчетом, мы достигли своей цели: площадь между общей кривой темпа выполнения и диагональю сократилась, и коэффициент подлости уменьшился с 0,65 до 0,3. Кроме того, сокращение срока (вместе с сокращением числа дел, разумеется) приближает ожидаемый темп выполнения работы к идеальному, поэтому коэффициент подлости уменьшился более чем в два раза. Добавление еще двух, скажем, квартальных отчетов уменьшит его уже до 0,13, но тем самым мы вгоним наших исполнителей сразу в четыре стрессовых периода, и они все равно станут громко страдать, жалуясь на судьбу и руководство! Что же, мы можем показать работникам наши выкладки и доказать, что, введя ежеквартальную отчетность, в пять раз понизили коэффициент подлости их жизни — если это, конечно, станет им утешением. Более того, при стремлении количества промежуточных дедлайнов к числу дней, отпущенных на работу, темп приблизится к идеальному, но очень занудному.

Ну вот! Еще и принтер сломался!

Добавим еще пару слов о стратегии балбеса. Числа Стирлинга при увеличении n имеют асимптотическое разложение, которое сводит распределение длин цепочек с дедлайном к смещенному распределению Пуассона (рис. 8.10).

Рис. 8.10. Распределение Стирлинга (гистограмма) и Пуассона (ступеньки) для n = 100 000 становятся очень близки друг к другу

Таким образом, наш стохастический процесс с дедлайном можно рассматривать либо как пуассоновский на сгущающейся временной сетке, либо как неоднородный пуассоновский, интенсивность которого монотонно и стремительно растет. И хотя, строго говоря, наш процесс не пуассоновский, поскольку события в нем не независимы, нужные нам статистические свойства у них схожи. Об этом говорит и подмеченная ранее близость среднего значения и дисперсии распределения Стирлинга, характерная именно для пуассоновского распределения.

Этот вывод позволяет задать вопрос. Что, если добавить к построенному нами процессу выполнения цепочки дел какие-либо не зависящие от нас редкие неприятности: пургу, жуткую пробку, насморк, поломку принтера или всенародный праздник?

Для пуассоновского процесса определен процесс случайного прореживания, заключающийся в удалении событий из потока с какой-то известной вероятностью. Случайное прореживание с вероятностью (1 — p) оставляет процесс пуассоновским, но его интенсивность уменьшается, умножаясь на p. События, соответствующие совпадению неприятности и какого-либо этапа выполнения работы, сами образуют пуассоновский процесс — с существенно меньшей интенсивностью, но в нашем случае также монотонно и стремительно растущей. Так стремительно, что, какой бы малой ни была вероятность неприятности, для достаточно большого числа дел (или срока, отведенного на работу) ближе к дедлайну она может увеличиться до вполне наблюдаемой. И принтер забарахлит именно накануне сдачи курсовика! Разумеется, это работает для достаточно длинных цепочек.

* * *

Не удивляйтесь, если автобус сломается именно тогда, когда вы уже опаздываете. Он не желает вам зла. Просто если вы девушка, то последовательность дел: выбрать платье, съесть конфетку, умыться, надеть выбранное платье, накраситься, надеть цепочку, переложить вещи из сумочки в клатч, почистить туфли и прочее… подходит к самому главному и волнительному дедлайну — к свиданию! И темп, с которым вы летите навстречу судьбе, уже настолько сумасшедший, что начинают происходить самые маловероятные чудеса. В конце концов, а что же такое чудо, как не реализация невероятного!

Глава 9. Термодинамика классового неравенства

Среди экономистов реальный мир зачастую считается частным случаем.

Наблюдение Хонгрена