Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Рассмотренные нами способы распределить средства по группе людей очень просты и вполне естественны. Но может возникнуть вопрос: а смогут ли они как-нибудь реализоваться в жизни? Насколько сами эти распределения вероятны? Ведь рынок есть рынок: если дать людям волю обмениваться деньгами, менять их на услуги, копить их и проматывать в одну ночь, смогут ли эти идеальные распределения сохранить устойчивость? Не превратятся ли они в какие-нибудь другие? Что нужно сделать с рынком, чтобы он сам, без принудительной раздачи средств, приблизился, например, к биномиальному или нормальному распределению, очень привлекательному с точки зрения справедливости?

Мы уже встречались с такой постановкой вопроса, говоря о центральной предельной теореме — одной из основ математической статистики. Согласно этой теореме, распределение для суммы одинаково распределенных случайных величин стремится к нормальному независимо от распределения этих величин. Таким образом, можно сделать вывод, что нормальное распределение и будет наиболее вероятным и устойчивым. Мы уже говорили, что оно соответствует минимальной информации о случайной величине, а раздавая деньги всем без дополнительных условий, мы и получили распределение, неотличимое от нормального. Так что, возможно, и в реальных обществах должно наблюдаться такое распределение богатства? Почему же индекс Джини для большинства государств, считающихся весьма успешными, почти никогда не бывает ниже 0,25, а для всего мира он близок к 0,4? Откуда берется столь существенное неравенство? Кто мешает наступлению устойчивого золотого века? Неужели это заговор богачей или непреодолимая жадность человека?!

Мы привыкли судить о роде человеческом плохо, упрекать его в стяжательстве и прочих грехах, но сейчас я хочу выступить в роли адвоката и показать, что греховность людей тут ни при чем. Все дело в математических законах, которым подчиняются не только слабый смертный, но и бесстрастная физика. Если бы не мысль и не воля человека разумного, придумавшего и внедрившего ряд рыночных механизмов, получить экономическую систему с индексом Джини меньше 0,5 было бы крайне непросто. Именно ради поиска фундаментальных законов экономики и создавалась эконофизика. Чтобы немного разобраться в них, нам предстоит погрузить нашу группу испытуемых в модель рынка.

Новая экономическая политика

Вновь рассмотрим группу из n человек и раздадим всем участникам эксперимента по равной денежной сумме — по m рублей каждому, получив самое справедливое в мире шариковское распределение средств в обществе. После раздачи в нашей системе будет находиться M = nm денежных единиц. Теперь предоставим им свободу богатеть и беднеть по воле собственной судьбы, согласно следующей примитивной модели рынка. Попросим кого-нибудь, выбранного случайно, отдать один рубль любому человеку из группы, также выбранному случайно. Можно счесть это приобретением некой услуги по фиксированной цене Δm = 1. Распределение богатства ожидаемо изменится: у кого-то денег станет меньше, у кого-то больше. Станем повторять эту процедуру снова и снова и посмотрим, как будет изменяться распределение богатства в группе.

Пусть вас не смущает нереалистичная примитивность описанной нами модели. Ее достоинство в том, что она требует минимальной априорной информации и соответствует некоторой базовой системе. Если мы обнаружим какие-то закономерности на этой модели, то они проявятся и в более сложных моделях.

Разумно перед проведением эксперимента поразмыслить, что же мы ожидаем увидеть. Получение денег участниками происходит равновероятно, как в случае пуассоновской стратегии раздачи, но в то же время игроки и теряют деньги, причем по такому же пуассоновскому принципу и с той же интенсивностью. Если вместо одного шага мы будем рассматривать сразу сотню, то вместо фиксированного количества денег участники группы будут обмениваться какими-то случайными суммами. Из опыта с пуассоновской раздачей денег следует заключить, что как положительные, так и отрицательные приращения будут распределены практически нормально и расположены симметрично относительно нуля. Каждый игрок в итоге будет получать разность этих приращений, которая для двух нормально распределенных случайных величин будет тоже нормально распределена[39], в данном случае вокруг нуля, поскольку потери и выигрыши симметричны (рис. 9.4).

Рис. 9.4. После множества обменов каждый игрок получит и потеряет суммы, которые подчиняются распределению, близкому к нормальному. Суммарный доход также будет нормально распределен вокруг нуля