Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Если быть совсем точным и вспомнить, что деньги в нашем эксперименте — величина дискретная, то мы наблюдаем геометрическое распределение — дискретный аналог экспоненциального. Эти два распределения подобны и сливаются при уменьшении вероятности выигрыша. В нашем эксперименте шансы получить рубль равны 1/5000; это настолько малая величина, что геометрическое и экспоненциальное распределения можно считать неотличимыми друг от друга.

Измеряем температуру у рынка

В нашей модели рынка мы имеем аддитивную величину — количество денег у каждого игрока; это аналог энергии. При описанном нами обмене эта величина у всей системы, как и энергия в замкнутой физической системе, сохраняется. А какой смысл здесь у температуры? Это можно выяснить, посмотрев на выражение для плотности вероятности экспоненциального распределения:

p(x) = λe^—λx,

и вспомнив, что среднее значение для него равно 1/λ. Поскольку число игроков в ходе торгов неизменно, сохраняется и среднее количество денег у них, равное первоначально раздаваемой каждому сумме m. Отсюда естественным образом следует, что λ = 1/m и, значит, в роли температуры в нашей экономической модели выступает среднее количество денег у игроков m. На рисунке 9.6 показаны примеры равновесных состояний рынков, соответствующих низкой и высокой температуре при одинаковом количестве участников.

Рис. 9.6. Распределения достатка, соответствующие «горячему» (m = 200) и «холодному» (m = 50) рынкам

На «разогретом» рынке с большой ликвидностью мы сможем наблюдать и больший разброс в уровне благосостояния, чем на «холодном», ведь у экспоненциального распределения дисперсия равна 1/λ². Как говорил Остап Бендер в «Золотом теленке» Ильи Ильфа и Евгения Петрова: «Раз в стране бродят какие-то денежные знаки, то должны же быть люди, у которых их много».

А что случится, если мы приведем «холодный» и «горячий» рынки в соприкосновение, позволив членам этих двух групп производить обмен между последними? Путь в одной группе n₁ участников владеют суммой M₁, а в другой — n₂ участников располагают общей денежной массой M₂. Средние значения m₁ = M₁/n₁ и m₂ = M₂/n₂ характеризуют абсолютную температуру рынков. Через какое-то время суммарная система придет к равновесию, и мы получим одну группу с числом участников n = n₁ + n₂ и с денежной массой M = M₁ + M₂. Отсюда можно найти температуру комплексной системы, она будет равна

Если вы помните, именно так вычисляется температура, получающаяся, например, при смешивании двух объемов воды, нагретых по-разному. Так что аналогия среднего достатка и температуры вполне пригодна для использования.

Завершим мы рассказ о температуре рынка еще одним примером, в котором эта концепция совпадает по смыслу с физической величиной. Представьте себе, что наша система становится открытой и может выпускать членов группы, набравших определенную денежную сумму. Иными словами, разрешим богачам, как говорится, «линять» из системы, прихватив с собой «золотой парашют». Что мы должны наблюдать? По мере исчезновения самых богатых количество денег в группе станет убывать. Если бы из нее могли выбывать любые участники, то средний достаток практически не менялся бы из-за одинакового уменьшения как количества участников, так и общей денежной массы. Но, поскольку по нашим правилам выбывают именно богатые, будет убывать и средний уровень благосостояния, а это приведет к тому, что температура нашего рынка станет падать.

Описанный процесс очень похож на остывание жидкости при испарении: помните, как охлаждает руку тонкий слой спирта, наносимый врачом перед уколом? Молекулы, толкая друг друга случайным образом, могут какой-то из них придать такой импульс, что она окажется в состоянии преодолеть общее притяжение и покинуть систему, унеся при этом и энергию, подаренную ей соседями. В «холодной» рыночной системе возрастает доля бедных по сравнению с «горячей», так что остающимся в группе участникам этот процесс не сулит ничего хорошего.

Постигаем Дао энтропии

Осталось разобраться с равновесностью итогового состояния рынка. Термодинамическое равновесие можно описать разными способами. Во-первых, равновесным должно быть стационарное состояние, в котором система может находиться неограниченно долго, не изменяя своих макроскопических параметров и не образуя внутри себя упорядоченных потоков вещества и энергии. Во-вторых, такое состояние должно быть устойчивым: если вывести систему из него, она будет стремиться к нему вернуться. В-третьих, оно соответствует наиболее вероятному состоянию системы из всех возможных. Оно чаще наблюдается, и система со временем будет стремиться попасть в устойчивое равновесие из любого другого состояния.