Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Таким образом, мы получаем классическое случайное блуждание с нормально распределенными приращениями. Нам уже знаком этот процесс, окрашивающий жизнь в темные и светлые полосы. Поведение множества случайно блуждающих частиц подобно диффузии: их плотность будет расплываться гауссовым колоколом вокруг неизменного среднего значения, увеличивая дисперсию пропорционально квадратному корню из числа обменов (времени). Вроде бы все просто. Если нет каких-то механизмов, сдерживающих эту диффузию, колокол расплывется по всей числовой оси. Таким же образом диффузия выравнивает неоднородности концентрации веществ в некотором замкнутом объеме или теплообмен распределяет температуру в изначально неравномерно нагретом стержне.

Но есть нюанс. Если по каким-то причинам у кого-либо из группы не осталось средств, он не сможет приобретать услуги, отдавая деньги, но по-прежнему может получать их. Возможное значение благосостояния ограничено слева нулем, а это значит, что диффузия богатства не сможет распространяться во все стороны бесконечно и наблюдаемая функция вероятности рано или поздно перестанет быть симметричной.

Есть еще один нюанс. Количество денег в нашей замкнутой системе ограничено и неизменно; это значит, что случайные блуждания не независимы. Какой-нибудь везучий игрок сможет получить очень большие суммы и уйти от ансамбля очень далеко, но только если общая масса настолько же обеднеет. Участников эксперимента стягивает невидимой сетью закон сохранения денежной массы в системе. К чему же будет стремиться распределение богатства в таких условиях? Похоже, ответ не столь очевиден, как может показаться на первый взгляд. Обратимся к имитационному моделированию и посмотрим, что у нас получится.

Для любопытных читателей, которые захотят сами провести этот эксперимент, приведу алгоритм процесса перераспределения денег для фиксированного Δm, равного для всех участников группы (рис. 9.5).

Рис. 9.5. Результат имитационного моделирования процесса перераспределения для фиксированного Δm для т = 100 рублей и n = 5000 человек. a — 10 шагов, b — 5000 шагов, c — 5∙10¹⁰ шагов, d — 10⁸ шагов алгоритма

Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m.

Повторять для каждого i от 0 до n

· · · · если xs[i] > 0

· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n

xs[i] <- xs[i] — 1

· · · · · · · · xs[j] <- xs[j] + 1

Сначала действительно наблюдается явление, подобное диффузии, однако по мере достижения левой границы распределение искажается и начинает стремиться к характерной несимметричной форме. Если эту книгу читает физик, то он сможет уверенно предположить, что это может быть за распределение: он назовет его распределением Гиббса. Внимательный читатель вспомнит, что мы уже встречались с ним, когда изучали фрустрацию во время ожидания автобуса. Тогда мы рассматривали распределение интервалов между пуассоновскими событиями, которое описывалось экспоненциальным распределением. Оба этих проницательных господина будут правы, называя разными именами одно и то же замечательное распределение.

Люди — молекулы

Распределение Гиббса — из области статистической физики. Здесь описываются свойства систем, называемых красивым словом «ансамбль», которые состоят из великого множества взаимодействующих элементов — чаще всего физических частиц. Под частицами понимаются такие объекты (или их модели), внутренняя структура которых несущественна: на первый план выходит взаимодействие между ними. В ансамбле можно выделять произвольные подсистемы (например, отдельные частицы или их группы) и ставить им в соответствие некие функции состояния (это могут быть обобщенные координаты, скорости, концентрации, химические потенциалы и многое другое). С помощью методов статистической физики удается объяснить и вычислить параметры самых разнообразных явлений: химических и каталитических процессов, турбулентности, ферромагнетизма, поведения жидких кристаллов, сверхтекучести и сверхпроводимости и т. д.

Нелишним тут будет повторить слова великого физика и блестящего лектора Ричарда Фейнмана.