Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Итак, вслед за физиками мы будем моделировать экономическую действительность макросистемой — ансамблем взаимодействующих частиц, обменивающихся ценностями. В дальнейших рассуждениях под ценностями мы будем иметь в виду деньги, но даже эта привычная повседневно используемая категория на удивление сложна и неоднозначна. Смысл и ценность денег зависят от множества факторов: называя вне контекста некую сумму, мы ничего не говорим о ее реальной ценности. Это отличает денежные величины от большинства физических, описывающих наш мир, и мешает проводить строгие рассуждения в экономике. Но цель нашего разговора — математические основы законов подлости, повседневных, понятных и простых. Именно поэтому в дальнейшем мы будем говорить о неких «рублях», имея в виду формальный билетик или монетку и подразумевая, что чем больше этих «рублей» у кого-то, тем он «богаче». Прочие же рассуждения о покупательской способности, нематериальных или неликвидных ценностях, наконец, о «не в деньгах счастье» мы оставим за рамками разговора.

Подходите, всем хватит!

Начнем мы с того, что станем раздавать деньги некой конечной группе людей и сравним между собой справедливость различных способов это сделать. И наконец-то мы станем применять кривую Лоренца и индекс Джини в экономическом контексте — именно так, как это было задумано их создателями!

Первая, самая очевидная стратегия: «взять всё, да и поделить», выделить каждому члену группы по равной доле общей суммы, скажем по 100 рублей. Такое распределение называется вырожденным, оно имеет индекс Джини, равный нулю, и соответствует кривой равенства на диаграмме Лоренца (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Абсолютно справедливое вырожденное распределение денег: у всех поровну. Кривая Лоренца совпадает с кривой равенства, а число 0 показывает индекс Джини

Прекрасный вариант! Назовем его «стратегией Шарикова» в честь героя повести Михаила Булгакова «Собачье сердце», который именно таким способом предлагал решить все экономические вопросы молодой советской республики.

Вторая стратегия, несколько более реалистичная, заключается в многократной раздаче всем по одному рублю в случайном порядке. Кому как повезет. Можем назвать эту стратегию пуассоновской, поскольку именно так распределяются по временной шкале независимые случайные события в процессе Пуассона. Для группы из n человек вероятность каждого из участников получить рубль составляет 1/n. После раздачи таким образом M рублей каждый должен получить сумму, равную количеству таких «положительных» исходов. Функция вероятности для подобной суммы хорошо известна — это биномиальное распределение, похожее на колокол, который симметрично разбегается вокруг среднего значения m = M/n. Обычно студенты знакомятся с этим распределением на примере вычисления вероятности получить указанную сумму при бросании игральных костей. В нашем случае мы бросаем честную кость с n гранями M раз. Для больших значений биномиальное распределение становится практически неотличимым от нормального (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Результат раздачи денег по принципу «на кого бог пошлет» — биномиальное распределение. Чем больше денег мы раздаем, тем больше кривая Лоренца приближается к кривой равенства. Здесь M = 10 000, n = 100

Это распределение с точки зрения справедливости выглядит очень неплохо; более того, оно становится тем справедливее, чем больше денег мы раздаем публике! Просто замечательно! Жаль, что общество устроено не так и денежный дождь не сыплется на всех нас поровну.

Для полноты картины рассмотрим еще одно простое искусственное распределение денег — такое, чтобы в группе были как бедные, так и богатые, и чтобы вероятность иметь тот или иной достаток была одинакова для всех уровней достатка (рис. 9.3). Иными словами, чтобы распределение оказалось равномерным. При этом мы вынуждены ввести ограничение на максимальный уровень достатка для участника группы. Думаю, затей мы социологический опрос, многие респонденты с улицы согласились бы, что это звучит справедливо.

Рис. 9.3. Равномерное распределение не означает, что деньги распределяются всем равномерно. При таком распределении число богатых, бедных и середнячков одинаково, но деньги в основном принадлежат богатым: половина всех средств сосредоточена лишь у четверти группы

Однако кривая Лоренца показывает, что такое распределение уже далеко от справедливости. Для равномерного распределения она представляет собой квадратичную параболу. Если левая граница распределения равна 0, как в нашем случае, то из-за нормировки парабола становится независимой от положения правой границы. Иными словами, для всех равномерных распределений с нулевой левой границей она будет одинаковой, и индекс Джини для всех таких распределений равен в точности 1/3. Такое значение индекса (но не такое же распределение!) было, например, у экономики Австралии в 2000-е — это вполне неплохой показатель, но далекий от совершенства.