Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Мы будем рассуждать, рассматривая размещение точек «с конца», в обратном порядке. Любая цепочка завершается размещением последней точки в последней ячейке. Шансов не разместить какую-то одну точку нет, поскольку по условиям для первой точки все ячейки свободны. Короткие цепочки из двух точек устроены так: в последней ячейке располагается вторая, последняя точка (с вероятностью 1/n), а на расположение первой точки ограничений нет, так что вероятность для k = 2 равна 1/n. Дальше можно действовать индуктивно. Для произвольного k последняя точка обязательно должна оказаться в последней ячейке; это может случиться с вероятностью 1/n. Потом мы можем поместить предпоследнюю точку в любую из свободных ячеек, скажем с номером m, сведя при этом задачу к случаю (k — 1) точек и (n — m) ячеек. Выбор m ограничен сверху числом (k — 2), поскольку две точки — последняя и предпоследняя — уже на местах. У нас уже есть способ получить точное решение искомой задачи, но для этого нужно знать решения всех входящих в нее подзадач:

p_n(1) = 0,

Такое определение функции называется рекуррентным. Чтобы им можно было воспользоваться, необходимо знать решение некоторых базовых подзадач; в нашем случае это выражения для k = 0 и 1. Полученное рекуррентное соотношение позволяет вычислить точное распределение, но его трудно анализировать. Нужно привести его в конечную форму — формулу, содержащую фиксированное конечное число арифметических действий над хорошо известными функциями. Мне удалось получить такую форму, оказавшуюся весьма компактной:

Здесь символ S(n,k) обозначает так называемые числа Стирлинга первого рода. Они возникают в комбинаторике при подсчете циклических перестановок и в задачах о распределении рекордов[34]. По правде говоря, числа Стирлинга тоже вычисляются рекуррентным соотношением:

S(0,0) = 1,

S(0,k) = S(n,0) = 0,

S(n,k) = (n — 1)S(n — 1,k) + S(n — 1, k — 1),

но они используются уже с середины XVIII века, и достаточно широко, чтобы можно было счесть их «хорошо известными». А главное, известны свойства этих чисел, позволяющие анализировать полученное решение. Благодаря этому удалось вывести точные выражения для математического ожидания длины цепочек и ее дисперсии; собственно, ради вычисления этих значений я и исследовал получившееся распределение:

M[k]=H_n, D[k]=H_n—H_n,2.

Эти величины выражаются через очень интересные гармонические числа:  или в конечной форме и  Эти числа играют важную роль в такой неожиданно сложной области математики, как теория чисел.

Казалось бы, что может быть проще, чем изучение чисел, тем более целых? Арифметику проходят в школе; со свойствами чисел, такими как делимость, мы знакомимся на личном опыте, пытаясь честно разделить пять рублей на троих. Но именно эта область математики ставит перед исследователем чрезвычайно сложные проблемы. Одна великая теорема Ферма чего стоит! От гармонических чисел дорожка ведет к дзета-функции Римана, а от нее — к великой загадке распределения простых чисел. Нам не потребуются результаты теории чисел явным образом, но свойства гармонических чисел мы используем. Средняя длина цепочек с ростом n растет очень медленно, хоть и неограниченно: имея бесконечное время, можно в среднем успеть сделать бесконечное число дел. Не сильно ошибившись, можно сказать, что она растет логарифмически. В свою очередь, дисперсия не сильно отличается от среднего, а добавочный коэффициент H_n,2 стремится к константе π²/6. Немного позже нам пригодится это наблюдение.

На наш вопрос: «Какова вероятность не уложиться в n дней, имея перед собой k последовательных этапов выполнения задачи?» — поможет ответить функция распределения, то есть кумулятивная кривая для распределения Стирлинга. Построим такие кривые для n = 7, 30, 365 и 25 000, соответствующие неделе, месяцу, году и (конечно, условно) всей жизни (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Вероятность не успеть выполнить цепочки различной длины в тот или иной срок

Эти графики показывают, что вероятность не уложиться в месяц с заданием, состоящим из пяти шагов, превышает 80 %. Неорганизованному балбесу на неделю лучше не планировать более трех дел, а десяток он не выполнит с вероятностью, превышающей 50 %, и за всю жизнь! Мы убеждаемся в том, что при увеличении сроков на несколько порядков число дел, выполняемых как попало, увеличивается незначительно. Жизнь так коротка!

О методе пристального всматривания

Немного отвлекусь от основной темы и расскажу о том, как именно мне удалось перейти от рекуррентного соотношения к конечной форме распределения Стирлинга. Эта история может быть поучительной, особенно в свете нашей основной темы — законов подлости.