Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Но что мы получим, если события перестанут быть независимыми и начнут образовывать упорядоченную цепочку? Скажем, пусть в цепочке событий {A,B,C} B может случиться только после A, но перед C. При этом моменты, в которые эти события произойдут, останутся случайными. Посмотрим, как смогут разместиться такие упорядоченные цепочки на ограниченном временном интервале.

Первое событие мы расположим в произвольной точке, второе — тоже случайно, но обязательно после первого, третье — после второго и т. д. Для каждого следующего этапа будет оставаться все меньше времени, так что к правой части интервала (перед дедлайном) должно наблюдаться заметное увеличение интенсивности процесса. Рано или поздно время для выполнения задач закончится, и цепочка завершится. Назовем построенный нами процесс стохастической цепочкой с дедлайном, а выбранную безалаберную стратегию выполнения работы — стратегией балбеса. На рисунке 8.1 показан пример построенной таким образом цепочки из пяти этапов работы, на которую было отпущено 20 дней.

Рис. 8.1. Пример стохастической цепочки с дедлайном. В данном случае пять дел выполнить удалось, можно успеть шестое, а на семь времени уже не хватит

Понятно, что, выполняя задачи в соответствии с мерфологической аксиомой Дехэя: «Простую работу можно отложить, потому что всегда будет время ее сделать потом», — непросто уложиться в сроки. Но можно ли как-то проанализировать это явление? Сформулируем задачу, взяв в качестве испытуемого, скажем, театрального режиссера. Пусть в распоряжении режиссера и его труппы имеется n дней для постановки некоего действа. Подготовка разбивается на k последовательных репетиционных этапов, каждый из которых требует день на выполнение. Какова вероятность не уложиться в срок, если действовать согласно описанному нами процессу выполнения работ? Подготовка мероприятия требует вовлечения разных людей и различных производственных процессов, возможны накладки, болезни или попросту хандра — все предпосылки к реализации нашей стохастической цепочки с дедлайном.

Для начала я обратился к имитационному моделированию, чтобы выяснить, как распределяется длина цепочек, которые удается выполнить в ограниченный промежуток времени заданной длины, пользуясь стратегией балбеса.

Вычисления состояли в генерации стохастических цепочек и подсчете их длин для различных ограничений по времени по следующему алгоритму.

Вход: число дней n

Повторять, пока не набрано нужное число цепочек

· · · · x:= n

· · · · k:= 0

· · · · Повторять, пока x>0

· · · · · · · · выбрать случайное целое число x ~ Uniform([0,x])

· · · · · · · · увеличить счетчик k

· · · · конец

· · · · добавить k в гистограмму

конец

Вот какая гистограмма получается, например, для n = 10 (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Гистограмма функции вероятности для длины цепочек, которые удается выполнить в отведенный срок. Синей линией показано распределение Пуассона с интенсивностью, соответствующей наблюдаемой средней длине цепочек

Подсчитывая события в настоящем пуассоновском потоке с интенсивностью λ, мы придем к упоминавшемуся уже распределению Пуассона:

которое, напомню, описывает вероятность получить ровно k событий в единичном интервале времени. Распределение внешне похоже на пуассоновское, но оказалось, что это все же не оно. Разберемся, откуда взялись именно такие доли.

Отвлечемся от дел и сроков и формально опишем исследуемый процесс. Рассмотрим ряд из n пронумерованных ячеек. Процесс состоит в последовательном случайном размещении точек по ним. Первая может оказаться в любой ячейке с равной вероятностью; пусть это будет ячейка с номером i₁. Следующая точка может оказаться в любой ячейке с номером i₂ > i₁. Для всех последующих точек i_k > i_k–1. Процесс завершится, когда i_k = n. Нас интересует вероятность того, что для заданного n > k удастся разместить менее k точек.