Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Облаком всевозможных последовательностей оказалась окружена прямая линия, имеющая наклон, равный интенсивности потока. Это график математического ожидания случайной функции. В отличие от настоящего пуассоновского процесса, то есть подсчета числа событий, значения этой функции — уже не целые числа. Как и среднее значение случайной величины, она характеризует случайную функцию, но вовсе не полностью. Например, можно рассмотреть аналог дисперсии, показав, насколько велик ожидаемый разброс значений от среднего. Стандартное отклонение показано на рисунке пунктиром. Но и две функции — среднее и дисперсия — не дадут полной характеризации. Одна и та же случайная функция способна породить бесчисленное множество последовательностей одинаковой интенсивности. Вновь перенесемся в аэропорт и представим себе две одинаковые очереди, идущие параллельно, например к стойке регистрации. Их движение описывается идентичными случайными функциями, средние графики неразличимы, однако наблюдаемая разница в шагах между двумя параллельными одинаковыми очередями подчиняется нетривиальному распределению Скеллама.

Может быть, если для каждого среза времени мы выясним распределение случайной величины F(t) (скажем, найдя его плотность вероятности p_F(t)), то получим исчерпывающую информацию о случайной функции F? Наконец, можно ли синтезировать случайный процесс, генерируя случайные числа согласно распределениям p_F(t)?

Ответ на все эти вопросы: нет. Случайные функции устроены сложнее, чем случайные числа. Рассуждая о марковских цепях, мы говорили, что они порождают случайные процессы, не имеющие памяти. При этом мы имели в виду, что на будущее в этих процессах влияет не прошлое, а только настоящий момент. Это свойство — отсутствие памяти — характерно для экспоненциального распределения и связанного с ним пуассоновского процесса. Характеристика памяти процесса — величина, называемая автокорреляционной функцией, которая определяется как среднее от произведения двух значений функции, вычисленных в разделенные известным промежутком τ моменты времени:

K(τ) = M[F(τ)∙F(t — τ)].

Здесь символ M[F(τ)] обозначает математическое ожидание (среднее значение) функции f(t). Величина временного лага τ показывает, насколько далеко мы заглядываем в прошлое. Для важного класса случайных функций, которые называются эргодическими, усреднение может производиться не по множеству реализаций случайного процесса, как для множества пуассоновских процессов, а по одному достаточно длинному ряду наблюдений за единственной реализацией. В физике, экономике или климатологии эргодичность случайных последовательностей очень важна, поскольку мы располагаем одним-единственным миром и можем наблюдать за ним долго, но неспособны исследовать множество его различных реализаций.

Автокорреляция позволяет различать истинно стохастические процессы, детерминированные процессы с наложенным на них шумом и процессы, порождаемые динамическим хаосом. С ее помощью можно отделять в экспериментальных данных основные временные закономерности, присущие процессу, порождающему эти данные, от случайного, не связанного с ними шума. Это один из основных инструментов анализа временных рядов. С его помощью сейсмологи расшифровывают запись землетрясения, выделяя из, казалось бы, совершенно беспорядочного сигнала первичные волны, пришедшие непосредственно от землетрясения, волны, отраженные от границ внутренних слоев Земли, вплоть до самого ядра, и обменные волны, рождающиеся на этих границах. Так сильные землетрясения на несколько часов делают нашу планету «прозрачной», как бы подсвечивая ее изнутри лучами сейсмических волн.

Корреляция в переводе с латыни — «отношение»; получается, что автокорреляция — «отношение к самому себе» или «связь с самим собой в прошлом». Согласитесь, это красивый образ не только для случайной функции, но и для человека.

Мне только спросить!

Но вернемся к очередям и проблемам, с ними связанным. Есть в нашей жизни досадное явление — «обочечники». Это ушлые водители, объезжающие пробку по обочине и потом встревающие в поток. Есть настырные посетители поликлиник и касс, норовящие просочиться к заветному окошку или двери с формулой «Мне только спросить…». В любую отлаженную бюрократическую систему то и дело врываются неотложные дела, не терпящие промедления. Понятно, что порой без таких случаев не обойтись: в больницах бывают неотложные пациенты, в операционной системе компьютера есть задачи с очень высоким приоритетом; наконец, на дороге мы обязаны пропускать спецтранспорт, едущий по экстренному случаю. Но как внеочередники влияют на всю очередь? Подобные случаи моделируются очередями с приоритетом (рис. 7.8), и для них тоже есть развитая теория, поскольку в жизни они встречаются чуть ли не чаще простых очередей.

Рис. 7.8. Очередь с приоритетом