Вскоре он, однако, объявился в недосягаемом для боевиков Вольского Лондоне. Пётр и здесь не оставил попыток заполучить перебежчика и весьма разгневался, когда получил с берегов Темзы неутешительный ответ: Английский король не может исполнить просьбу царя, не нарушая права убежища, которое должно оставаться неприкосновенным у всех народов. Царю напомнили и о том, что Веселовский не был ранее ни судим, ни подвергнут наказанию. И хотя Палата общин не удовлетворила в ноябре 1724 года петицию Авраама Павловича о его натурализации в Туманном Альбионе, новый эмигрант чувствовал себя здесь в полнейшей безопасности. Отсюда в 1730-е годы он переехал в благословенную Швейцарию, где и нашёл своё окончательное пристанище.
Что же заставило Веселовского стать первым в российской истории дипломатом-невозвращенцем?
Эмигрантами, как известно, не рождаются ими становятся, причём к такому отчаянному решению ведёт логика всей предшествующей жизни. А потому рассказ о нашем герое следует начать с его первых шагов.
Можно сказать, что с самого начала карьера Авраама была обречена на успех. Ведь он находился в родстве с блистательным дипломатом того времени, вице-канцлером, бароном П. П. Шафировым по некоторым сведениям, приходился тому племянником. Какое-то время Веселовский воспитывался в его доме, и, видимо, именно дядя-полиглот привил ему интерес к иностранным наречиям: Авраам свободно говорил по-немецки и владел латынью. Здесь-то, будучи в гостях у вице-канцлера, и заприметил его проницательный Пётр, предрекший отроку большое будущее.
Когда юноше минуло восемнадцать, он был направлен за казённый счёт в только что открывшуюся в Москве первую в России гимназию. Возглавлял её происходивший из Мариенбурга пастор Эрнст Глюк (интересно, что именно у него одно время была в услужении Марта Скавронская будущая императрица Екатерина I). Познания этого учёного мужа были весьма обширны: он был автором краткой географии на русском языке, русской грамматики и молитвенника, составил славяно-латино-греческий словарь, перевёл труды замечательного чешского педагога Я. А. Коменского Преддверие, Открытая дверь языков, Мир чувственных вещей в картинках.
Поражала универсальность предлагаемого гимназией образования: здесь изучали географию и политику, историю и астрономию, латинскую риторику и ифику, философию деятельную и картезианскую, танцевальное искусство и поступь французских и немецких учтивств, фехтование, конное искусство и берейторское обучение лошадей. Особое внимание уделялось языкам (их преподавали учителя-иноземцы). Так, Веселовский штудировал французский, немецкий, латинский, греческий, древнееврейский и даже сирийский и халдейский языки.
Но и этого оказалось мало для пытливого юноши, и для совершенствования в языках он в марте 1705 года направляется в чужие края, где состоит сначала при российском эмиссаре Г. Гюйсене, а затем при видном сподвижнике Петра князе Б. И. Куракине, выполнявшем в то время важные поручения царя по укреплению международного авторитета России (для этой цели ему привелось даже целовать туфлю римскому папе). Под руководством Куракина Веселовский постигал и науку дипломатии. Потому, наверное, вернувшись в Петербург, он сразу же получил назначение в дипломатическое ведомство Посольскую канцелярию, где с декабря 1708 года начал работать переводчиком. Ему, определённому состоять у секретных дел, был установлен огромный для того времени оклад 200 рублей в год.
Во время Полтавской баталии Авраам был уже дьяком Посольского приказа. Он неотлучно сопровождал царя, который в июне 1709 года послал ловкого еврея в Данию с письмом, извещавшим о победе русских над шведами. С 1710 года Веселовский служит в Ижорской канцелярии под руководством государственных тайных дел министра, светлейшего князя А. Д. Меншикова, при котором занимает очень высокое положение. Современник свидетельствовал: Ныне Аврам Веселовской+ у князя гораздо в милости, и хотя не виден при его светлости, однако ж все дела отправляет.
В 1715 году Веселовский становится резидентом в Вене. По приезде в эту столицу Габсбургской монархии он незамедлительно (уже через пять дней) был принят во дворце самим цесарем Карлом IV. В налаживании связей при Венском дворе он обнаружил своё хитроумие и дипломатический дар в то время в международной практике это называлось поиском нужных каналов. Задача нашего героя и состояла в том, чтобы каналы эти, так сказать, текли в направлении России, работали бы ей во благо. Примечательно, что он пытался заручиться поддержкой влиятельного обер-гофканцлера графа Цинцендорфа. Тонкий психолог, Веселовский не постеснялся прибегнуть и к коварству: прознав о неукротимой страсти супруги графа к карточной игре, он ссудил ей известную сумму в обмен на важные услуги её мужа российской короне.