ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Илюша взглянул на него и сказал:

- Когда мы разбирали пример Бомбелли, я, кажется, понял, что под корнями в формуле Кардана стоят сопряженные комплексные числа... Ну вот, отсюда и альфы, чтобы получать один за другим все значения корня из комплексного числа! Теперь я как будто разобрался. Значит, Лагранж дал формулу Кардана но просто в виде результата двух подстановок, а так, как она складывается из самых корней.

- 450 -

И тут альфовый снежок стал стихать.

- Так-с... - произнес наставительно Мнимий. - Это похоже на дело. Но теперь на минутку давайте снова вернемся к квадратному уравнению. Вы этого не бойтесь! Поверьте, что все те крупные ученые, которые это разбирали, тоже не раз вспоминали о квадратном уравнении. Так вот вам еще один вывод для формулы решения квадратного уравнения, причем чрезвычайно полезный. Нам ведь хорошо известно, что по формулам Виеты сумма корней квадратного уравнения (х2 + рх + q = 0) равняется коэффициенту при неизвестном в первой степени с обратным знаком, то есть:

х1 + х2 = -р.

Возьмем еще одно выражение, составленное из тех же корней, только не сумму, а разность, и возведем ее в квадрат:

(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = p² - 4q

Отсюда сразу можно написать, что

x₁ + x₂ = - p

x₁ - x₂ = ± √( p² - 4q)

Сложим эти два равенства и сейчас же получим известную формулу решения квадратного уравнения. Не так ли?

- Так, конечно, - отвечал Илюша. - Из суммы этих выражений один корень получаем, а из их разности - другой.

Все понятно. Выходит, что мы этим способом получили два уравнения первой степени. Раз нам нужно два решения, то мы можем к ним прийти через два уравнения первой степени... То есть я не знаю, всегда ли так должно получаться, но во всяком случае с квадратным уравнением именно так и получается...

- Допустим... - отвечал Мнимий. - Но лучше сказать, пусть так будет вплоть до первого противоречия с этим предположением либо допущением.

- А если встретится противоречие?

- 451 -

- Тогда посмотрим. Попробуем его обойти, а если не удастся, придется видоизменять наше допущение. Когда Лагранж, пытаясь обнаружить общее правило из разных решений алгебраических уравнений, нашел наконец свою замечательную формулу, он заметил, что три корпя в ней надо брать в некотором вполне определенном порядке, а это натолкнуло его на новые плодотворные опыты. Если взять все три корпя кубического уравнения, то есть х1, х2 и х3, то, если их брать не только в той последовательности, которая оказалась необходимой - вместе с нашими помощницами, альфами, - но и во всех остальных...

- Интересно, - заметил Радикс, - а сколько будет этих всех остальных?

И оба, Радикс и Мнимий, внимательно посмотрели на нашего героя, Илью Алексеевича.

- Остальных последовательностей корней? - неуверенно повторил мальчик. - Не понимаю вопроса... Или, может быть, о порядке вы говорите? Тогда вы меня о перестановках спрашиваете?..

Не отвечая ни слова, Радикс и Мнимий все так же пристально смотрели на Илюшу, который чувствовал себя под их взглядами не в своей тарелке.

- ... и уж если это так, - в полной неуверенности продолжал он, - то раз всего три корня, то, как их ни переставляй, выйдет только шесть различных последовательностей. И все.

Опять полная тишина. Вдруг Илюша почувствовал, что в его левой руке оказалась маленькая коробочка, и действительно, это был просто самый маленький Дразнилка с тремя шашками. Только на шашках были изображены символы корней:

Илюша начал машинально двигать шашечки, но ничего нового или интересного не обнаружил. Да, действительно, всего получалось шесть перестановок! Но он это давно знал:

(x₁ x₂ x₃); (x₂ x₃ x₁); (x₃ x₁ x₂);

затем опять получается то же самое. А если переставить две шашки, ну, скажем, x₂ и x₂, то получатся еще три случая:

(x₂ x₁ x₃); (x₁ x₃ x₂); (x₃ x₂ x₁);

а потом снова то же.

- Шесть, - согласился Мнимий, - спору нет. Но вам пришлось однажды что-то менять в первом расположении. Это как надо понимать?

- 452 -

- Это как бы два круга Дразнилки; первый можно назвать четным кругом, а второй - нечетным, потому что в первом случае одна шашка постоянно обходит две шашки, как и полагается в Дразнилке, а во втором сначала обходят одну шашку, и порядок меняется. Перейти от одного круга к другому, не вынимая одной шашки из коробочки, нельзя.

При перестановках каждый раз первая шашка попадает в конец направо.

- Вес верно, - подтвердил Мнимий. - Итак, два круга, причем один в другой непосредственно не переходят..

- Да, и если отразить какую-нибудь перестановку первого (четного) круга в зеркале, то выйдет перестановка второго круга (нечетного).

- Хорошо, - подхватил Мнимий, - это важное замечание.

Мы можем отметить, что названные вами два круга Дразнилки-Малого зеркально симметричны.

- Похоже, что так, - неуверенно произнес Илюша.

- Мы встретились с явлением, которое называют симмеmрией. Вы ведь знаете, что такое преобразование? - спросил Мнимий.