ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

- Да, конечно, - отвечал Илюша, - например, подобие. Потом еще умножение на комплексный вектор, как мы уже в прошлой схолии рассматривали, подобие и поворот... А еще у нас дома есть подставка для чайника. Она раздвижная - может быть квадратом, а потянешь за уголки, получается ромб. Папа говорит, что это преобразование...

- А по-твоему, это что? - спросил Радикс. - Из квадрата - ромб, и обратно. Чем не преобразование? Такие преобразования называются аффинным и. Если бы на квадрате был нарисован круг, что бы ты из него получил при аффинном преобразовании?

- Может быть, эллипс? - неуверенно ответил Илюша.

- А почему бы и нет?

- Я - "за"! - отвечал храбрый Илья.

- Присоединяюсь, - заключил Радикс.

- Так вот, - снова начал Мнимий, - чтобы ответить на вопрос, что такое симметрия, необходимо и ее тоже рассматривать как некоторое преобразование. У нас, например, есть равнобедренный треугольник; пусть его основание не равно одной из его сторон, значит, он симметричен относительно своей высоты; при повороте на 180° вокруг высоты он совместится сам с собой. Разумеется, мы не принимаем в расчет, какой стороной он к нам повернут. Равносторонний треугольник симметричен не только относительно высоты, но относительно каждой из своих высот (они же медианы и биссектрисы).

Аналогично мы рассуждаем и о телах...

- 453 -

- Бабочка симметрична!

- Ну конечно! это уже касается тела в пространстве.

Одним словом, явление симметрии - вещь понятная. Здесь преобразование - во всех наших случаях - сводится к повороту, но самым "процессом поворота" мы но интересуемся (этим делом механика занимается), а смотрим только на то, что из этого поворота получилось. Кроме поворота, еще возможно зеркальное отображение - симметрия относительно плоскости (с настоящим зеркалом) либо относительно прямой (как для сопряженных комплексных векторов) и параллельный перенос в плоскости или вместе со всей плоскостью. Это все геометрическая симметрия. Но возможна еще и симметрия в алгебраическом смысле, симметрия многочленов.

Вот как раз в этом-то случае к нам и приходит на помощь понятие перестановки, с помощью которой мы можем уяснить и записать алгебраическую симметрию. Хотя, конечно, на первый взгляд перестановки непосредственно симметрией и не обладают, но, например, мы обнаружили, что все шесть перестановок из трех элементов разделяются на две части (по три), связанные между собой зеркальной симметрией. Если мы теперь возьмем формулы Виеты, известные нам по квадратному уравнению, но которые легко написать и для кубического уравнения, начиная с того, что свободный член всегда равен произведению всех корней, то...

- Значит, - перебил мальчик, - мы получим для уравнения:

х³ + ах² + bх + с = 0,

если начать с такой записи уравнения:

(x - x₁) (х - х₂) (х - х₃)=0,

такие выражения для его коэффициентов через его корни:

c = x₁x₂x₃

b = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃

- а = х₁ + x₂ + х₃.

Знаки меняются.

- Так-с... Так вот, именно эти выражения Виеты обладают очень важным свойством: они не меняются, если переставлять в них корни. Проверьте!

- Насчет а и с, конечно, верно, потому что это сумма и произведение. А как быть с b? Если поменять местами икс-первый и икс-третий?.. Верно! То же самое получается.

- 454 -

- Поэтому математики называют эти функции корней из формул Виеты симметрическими функциями. Для алгебраических уравнений любых степеней они строятся по одному и тому же правилу, которое вы уже указали А у кубического уравнения есть еще одно общее свойство с Дразнилкой Малым. Когда мы разбирали пример Рафаэля Бомбелли, вы ведь заметили, что кубические корни, им полученные, суть сопряженные комплексные числа, то есть величины неравные, хотя и геометрически зеркально симметричные. Свойство это заключается в том, что существует такая функция корней кубического уравнения, которая при всех перестановках может принять только два значения - это и будут подкоренные величины кубических корней в Кардановой формуле.

- Вроде, как два круга разной четности у Дразнилкн Малого? - осторожно спросил Илюша.

- Похоже, но не больше... Эта функция, найденная Лагранжем, такова:

(х₁ + αх₂ + α²х₃).

Она может принимать только два значения, поэтому появляется возможность приравнять их двум корням квадратного уравнения, что и позволяет нам построить Карданову формулу, то есть найти решение кубического уравнения. Вот как примерно через два века была выяснена сущность Кардановой формулы.

Вслед за этим Лагранж рассмотрел и решение уравнения четвертой степени, которое приводится не к квадратному уравнению, а к кубическому, однако теперь это уже не страшно!

- А уж с четвертой степенью, наверно, ужасно трудно... - заметил Илюша.

- Да, не так просто! Но Лагранж и для этого уравнения нашел решение. Он вообще старался найти самый смысл решения, так сказать, ключ к этой удивительной загадке.

И ему многое удалось. Он даже предполагал, что именно в перестановках весь секрет этих сложнейших дел и прячется.