ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

где Илюша открывает еще кое-что насчет обычаев и нравов веселого карликового народца, у которого он был в гостях, и, в частности, узнает о том, как можно натянуть нос одному неуклюжему существу, причем натягивание это мнимое, а нос-то получается совершенно вещественный. После этого наш герой пытается играть с зеркалом в "Дразнилку", а затем наши добрые друзья встречаются с тремя недогадливыми испанцами и тремя храбрыми дипсодами, то есть людьми из Страны Жаждущих (которая подробно описана в знаменитой истории Гаргантюа и Пантагрюэля, неутомимых острословов, великанов и мудрецов). И только благодаря этой встрече Илюша узнает, сколько врагов надо уложить, когда на тебя нападают со всех сторон, ибо до сих пор он думал, что сторон в три раза меньше, чем это оказывается на самом деле. Тут же выясняется, почему любители чужого добра вдруг становятся такими кроткими, когда им растолкуют наконец, какие симпатичные треугольнички для них приготовлены в царстве ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА.

Илюша и Радикс продолжали свой путь в самом приятном расположении духа. Однако через несколько времени Илюша задумчиво промолвил:

- Эх! Я забыл спросить у этого человечка еще одну штуку.

- Что именно? - вопросил Радикс.

- 97 -

- Я никак не пойму: какое отношение эти комплексные человечки могут иметь к такой задаче, в которой есть только вещественные, да еще притом целые числа?

Тут Илюше показалось, что на него кто-то смотрит сзади.

Он обернулся и к своему неописуемому удовольствию увидел, что невдалеке позади, под синей стеной, в креслице сидит Мнимий Радиксович собственной персоной.

- Могу, - сказал любезный человечек, - вам рассказать о некоторых наших хитроумных проделках. Это вам кое-что пояснит. Вы, конечно, помните, что разность двух квадратов распадается на два множителя - на сумму и разность первых степеней.

- Ну еще бы, - отвечал Илюша.

- А мы, - продолжал словоохотливый человечек, - умеем делать то, чего вещественные числа делать не умеют: мы можем разложить на множители сумму квадратов. Это очень просто. Смотрите.

И на стене около кресла сейчас же появилось следующее:

x² + у²

= (х + iy) (x - iy).

- Буква i, как всегда, обозначает √-1. Перемножьте, и вы убедитесь, что это равенство справедливо. Кстати сказать, формулы для пифагоровых троек я мог бы получить тоже не без помощи этого выражения, а именно вот как. Если нам нужно, чтобы х² + у² = z²,

то положим, что оба множителя, то есть (x + iy), а также (х- iy), суть квадраты каких-то чисел, разумеется тоже комплексных, так что, например:

x + iy=(p + iq) ² = p² - q²

+ 2pqi.

Теперь я сравниваю левую часть с правой и заключаю, что

х = p² - q²; y = 2pq,

откуда уже сразу следует, что

z = р² + q².

- 98 -

Это, правда, не совсем строго, хотя бы потому, что из a•b = z² не следует, что а и b непременно квадраты, но формулы получаются как раз те, какие нам нужны. Обратите, кстати, внимание еще на то, что одно равенство комплексных чисел заменяет собой два равенства обычных чисел. Это тоже ведь преимущество немалое! Теперь позвольте вам указать еще и на то, что если мы возьмем не разность квадратов, а разность кубов (а ведь куб-то как раз и является первой из тех степеней, о которых идет речь в Большой теореме Ферма!), то вещественные числа умеют разлагать эту разность только на два множителя, то есть на разность первой степени и неполный квадрат суммы. Не так ли?

Илюша утвердительно кивнул. И тотчас на стене появилось:

(х³ - 1) = (x - 1) (х² + х + 1).

- Ну, а мы можем разложить вам эту разность не на два, а на три множителя, и получится вот что...

- Вы легко можете убедиться в справедливости этого равенства, либо просто перемножив эти три скобки, либо решив квадратное уравнение, которое представляет собой ваш неполный квадрат суммы.

х² + х + 1 = 0.