ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

- Ну вот, - продолжал Мнимий, - отсюда вы легко можете видеть, что мы вполне можем иметь прямое отношение к задачам, в которых есть только вещественные числа. С этим несложным, но очень полезным разложением мы еще встретимся в дальнейшем, когда займемся вопросами довольно хитрыми (но при этом замечательно интересными) через каких-нибудь двенадцать Схолий. Причем мы способны делать то, о чем вещественные числа и понятия не имеют. А так как наша арифметика очень похожа на арифметику вещественных чисел, то вы можете прийти к нам, а потом вернуться к вещественным числам, и никаких недоразумений у вас не получится. А мы будем вам с удовольствием помогать теми своими способностями, которых у вещественных чисел нет. Мало того, мы еще вам что-нибудь подарим на память, чего вы даже у нас не просили. Вот, например, разложим разность кубов на три множителя, а если вы внимательно присмотритесь к этому разложению, то увидите, что наше решение имеет непосредственное отношение к геометрической задаче о том, как вписать в окружность равносторонний треугольник. И это потому, что мы друзья с синусами и косинусами, а коэффициенты, которые мы вам вывели, равны: один - синусу тридцати градусов, а другой - косинусу тридцати градусов.

- 99 -

Илюша не мог сразу сообразить, при чем тут равносторонний треугольник, но, вспомнив, что синус 30° действительно равен одному из приведенных Мнимием Радиксовичем коэффициентов (то есть половине), не решился спрашивать и дал себе слово, что на досуге возьмет геометрию и сам все разберет.

- Теперь, - сказал Илюша, - я, кажется, начинаю понимать, как вы помогаете. Это замечательно!

- Милый юноша, - отвечал ему Мнимий Радиксович, - все, что вы здесь увидите, все вам будет помогать. Только надо научиться пользоваться нашей помощью. Это кажется трудным, но ведь вы когда-то и читать не умели, однако научились! Так и здесь то же самое. А если вы меня спросите теперь, почему мы с такой охотой беремся помогать вам в чужой задаче, то я вам отвечу, что, во-первых, всякому охота показать, на что он способен, ну, а потом, знаете, это все-таки довольно забавно - натянуть нос этим неповоротливым вещественным числам, чтобы они не важничали, потому что они народ ужасно спесивый, но совершенно не могут быть такими юркими, догадливыми и любезными, как мы! Однако, не всякий сразу с нами освоится. Вот, например, число шесть - поговорите о нем с вещественными числами, и они вам скажут, что это просто "дважды три". Справедливо, разумеется! Но с нашей точки зрения его можно еще немного иначе написать:

2 • 3 = 6 = (1 + √-5)(1 + √-5).

Попробуйте проверьте! Надо, видите ли, еще иметь в виду, что вопросы делимости могут касаться даже и алгебраических выражений, а ведь это очень важно, ибо алгебра-то и учит нас решать вопросы в общем виде. Вот задачка: дано выражение

m³ + 6m

² + 11m +6.

Спрашивается, делится оно на три или нет? Что вы на это скажете?

- Не знаю, - ответил смутившийся Илюша, - может быть, попробовать разложить на множители?

- 100 -

И мальчик получил:

(m + 2) (m + 3) (m + 4).

- А теперь заменим (m+ 2) на n. И тогда?

Илюша написал, а затем ответил нерешительно:

- Три натуральных числа подряд. Произведение! Коли так... то должно делиться на три! Вот странная задачка! Сразу не разберешься. А ведь мне нужно еще узнать про Дразнилку, - обратился Илюша к Радиксу, ибо Мнимий уже исчез. - Ты расскажешь?

- Отчего же! - ответил Радикс, беря со стола три картоночки, каждая величиной с почтовую карточку, и протягивая их Илюше. - Мы с тобой сначала рассмотрим самый простенький случай - тройного Дразнилку, который у тебя назывался "икс". Помнишь?

- Помню! - сказал Илюша, разглядывая карточки. На каждой стояла цифра: 1, 2 и 3.

- Так вот, - продолжал Радикс, - положи их на стол в обычном порядке. Запиши мелом на стене эту первую комбинацию, исходный порядок, то есть 1-2-3. А теперь перекладывай их так: ту, которая стоит спереди, клади в самый конец и повторяй дальше тем же порядком. Это круговая, или циклическая, перестановка.

Илюша переложил несколько раз, потом сказал:

- Больше не выходит. Опять то же самое получается.

- А теперь разложи их в обратном порядке: 3-2-1 и перекладывай опять так же.

- И тут то же, - ответил Илюша. - Опять я пришел к тому же, с чего начал, то есть к 3-2-1.

- Ну, теперь запиши.

Илюша записал так:

А)

1 - 2 – 3

2 – 3 – 1

3 – 1 - 2

Б)

3 – 2 - 1

2 – 1 - 3

1 – 3 - 2

- Вот они и все, - сказал Илюша, - их всего шесть штук.

- Попробуй, - посоветовал Радикс, - взять опять комбинацию 1-2-3 и перекладывать не переднюю назад, а заднюю вперед.

- Не стоит, - отвечал Илюша, - это я уже пробовал там, у Розамунды. То-то и дело, что они ходят друг за дружкой гуськом. И все равно в какую сторону двигать.

- 101 -

- Правильно, - сказал Радикс. - А теперь положи карточки рядом в порядке 1-2-3 и посмотри в зеркало, что у тебя получится.

Илюша посмотрел в зеркало и увидел, что из его комбинации 1-2-3 в зеркале получается 3-2-1.

- Как раз наоборот! - сказал он. - Из "А" получается "Б".

- Ну, теперь переставляй их вкруговую. И смотри, что выходит в зеркале.